ELEMENTI DI ALGEBRA COMMUTATIVA
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2022/2023
- Docente
- ALBERTO CALABRI
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/02
Obiettivi formativi
- Conoscenza dei concetti fondamentali di algebra commutativa, quali:
- anelli commutativi,
- anelli quozienti,
- ideali primi e ideali massimali,
- localizzazioni di un anello,
- decomposizione primaria di un ideale,
- moduli su un anello,
- prodotto tensoriale di due o più moduli,
- noetherianità e artinianità di anelli e moduli.
Alla fine del corso lo studente sarà in grado di riconoscere:
- esempi di anelli commutativi,
- le proprietà degli elementi di un anello commutativo,
- le proprietà degli ideali di un anello commutativo,
- esempi di moduli su un anello,
- le proprietà di noetherianità e artinianità di moduli e di anelli,
e sarà in grado di costruire nuovi anelli e moduli usando la localizzazione e il prodotto tensoriale. Prerequisiti
- Algebra (primo anno della laurea triennale in Matematica).
Contenuti del corso
- Anelli e omomomorfismi di anelli. Ideali, anelli quozienti. Divisori dello zero, elementi nilpotenti, elementi invertibili. Ideali primi e ideali massimali. Il nilradicale e il radicale di Jacobson. Operazioni sugli ideali. Estensione e contrazione di ideali (14 ore).
Moduli e omomorfismi di moduli. Sottomoduli e moduli quoziente. Operazioni sui sottomoduli. Somma diretta e prodotto diretto. Moduli finitamente generati. Successioni esatte. Prodotto tensoriale di moduli. Restrizione ed estensione degli scalari. Proprietà di esattezza del prodotto tensoriale. Algebre (12 ore).
Anelli e moduli di frazioni. Proprietà locali. Ideali estesi e contratti negli anelli di frazioni (6 ore).
Teorema della base di Hilbert. Teorema degli zeri di Hilbert (4 ore).
Decomposizione primaria di ideali. Condizioni sulle catene. Anelli noetheriani. Anelli artiniani (6 ore).
Dipendenza integrale. Il teorema del "going-up". Domini di integrità integralmente chiusi. Il teorema del "going-down". Anelli di valutazione discreta. Domini di Dedekind (6 ore). Metodi didattici
- Lezioni frontali alla lavagna.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- Esame orale che consiste in tre domande su aspetti generali del corso: per almeno una delle domande è richiesta una dimostrazione con qualche dettaglio.
La risposta ad una domanda viene valutata con un punteggio da 0 a 10, a seconda della chiarezza e precisione della risposta, e il voto finale è la somma dei tre punteggi ottenuti.
Per superare l'esame occorre ottenere almeno 18. Testi di riferimento
- M.F. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduzione all'algebra commutativa, Collana di matematica vol. 16, Feltrinelli, 1981.
