EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2019/2020
- Docente
- FRANCESCA AGNESE PRINARI
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- I principali obiettivi formativi del corso sono:
* Introdurre lo studente ai concetti e alle problematiche principali legate alle equazioni differenziali ordinarie.
* Fornire metodi per la risoluzione di equazioni e sistemi di equazioni differenziali lineari e non lineari.
* Fornire strumenti per lo studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
* esempi concreti di modelli di equazioni differenziali ordinarie;
* classificazione ed esempi di varie tipologie di equazioni differenziali ordinarie;
* studio di equazioni differenziali scalari a variabili separabili o ad esse riconducibili;
* studio di equazioni e sistemi differenziali lineari a coefficienti costanti;
* esponenziale di una matrice;
* teoria generale di base: teoremi di esistenza e unicità per soluzioni locali del problema di Cauchy;
* prolungamento di soluzioni e comportamento delle soluzioni massimali;
* disequazioni differenziali, lemma di Gronwall e teoremi dl confronto;
* analisi qualitativa delle soluzioni di un'equazione scalare.
Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno quelle di saper:
* impostare un sistema di equazioni differenziali a partire dalla descrizione del modello fisico del problema;
* trasformare un sistema di equazioni differenziali ordinarie in un sistema del primo ordine e/o in forma normale;
* risolvere equazioni scalari a variabili separabili, o equazioni ad esse riconducibili;
* risolvere equazioni scalari lineari omogenee e non omogenee del primo ordine a coefficienti variabili;
* risolvere equazioni scalari lineari omogenee e non omogenee di ordine superiore a coefficienti costanti;
* risolvere sistemi lineari del primo ordine omogenei e non omogenei a coefficienti costanti;
* applicare il metodo di riduzione per abbassare l'ordine di un'equazione lineare o la dimensione di un sistema lineare quando si conosce una sua soluzione;
* calcolare l'esponenziale di una matrice;
* dimostrare, con diversi metodi, l'esistenza e unicità di soluzioni del problema di Cauchy sotto opportune ipotesi;
* classificare le soluzioni massimali di un'equazione differenziale in base al loro comportamento ai limiti;
* disegnare il grafico qualitativo di soluzioni di equazioni differenziali scalari senza risolvere esplicitamente l'equazione. Prerequisiti
- Calcolo differenziali e integrale per funzioni in una e in più variabili reali.
Concetti di base dell'algebra lineare delle matrici.
Numeri complessi: radici ennesime,rappresentazione polare ed esponenziale.
Rappresentazione nel piano cartesiano di grafici e curve. Contenuti del corso
- *Prime definizioni (equazioni differenziali ordinarie, forma normale e non, ordine, sistemi di equazioni differenziali ordinarie, problema di Cauchy). Motivazioni ed esempi. Teoria generale di base per problemi di Cauchy associati al l’equazione y’=f(t,y): esistenza e unicità locale della soluzione in ipotesi di Lipschitz usando l'approssimazione di Picard.
[7 ore]
* Prolungamenti di una soluzione. Unicita’ in grande. Soluzioni massimali e teorema di esistenza di soluzioni massimali. Lemma di Gronwall. Teorema di esistenza globale. Teorema di fuga dai compatti. Teorema sul comportamento di una soluzione massimale ed esempi.
[7 ore]
*Metodi di risoluzione per equazioni differenziali:
-equazioni a variabili separabili
- equazioni riconducibili a variabili separabili (omogenee..)
- equazioni riconducibili a lineari del primo ordine (Bernoulli, Riccati...)
-1-forme ed equazioni differenziali
- Equazione di Clairaut
- Equazioni autonome
- Discussione e risoluzione di problemi di Cauchy associati ad essi
[7 ore]
*Studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale del primo ordine in forma normale. Sottosoluzioni e soprasoluzioni. Teorema del confronto, teorema di monotonia e teorema dell'asintoto.
[7 ore]
*Discussione alla Weirstrass.
[2 ore]
*Esistenza per il problema di Cauchy nell'ipotesi di sola continuità. Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema di Peano.
[4 ore]
* Sistemi lineari omogenei del primo ordine:
Soluzioni indipendenti e matrice wronskiana. Matrice soluzione. Matrice fondamentale (o risolvente). Caso A costante: definizione di esponenziale di una matrice e calcolo usando la forma di Jordan. Sistema lineare del primo ordine completo: metodo di variazione delle costanti. Analisi nel piano delle fasi di sistemi lineari 2x2 (nodi, fuochi, selle, spirali..)
[7 ore]
*Equazioni differenziali lineari di ordine n. Equazioni di ordine n a coefficienti costanti. Polinomio caratteristico. Equazioni riconducibili a lineari di ordine n (Eulero..). Metodo di d’Alembert per la riduzione dell’ordine di una equazione. Metodo di variazione delle costanti.
[7 ore] Metodi didattici
- * 48 ore di lezioni frontali di teoria, applicazioni ed esercizi. Lo svolgimento di esercizi sarà parte integrante della trattazione di ogni argomento.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame è composto da una prova scritta seguita da un colloquio orale.
* La prova scritta consiste nello svolgimento di esercizi, problemi e applicazioni relative agli argomenti svolti durante il corso.
Essa si ritiene superato se si raggiunge il voto di 16 su 31 e lo svolgimento corretto e quasi completo di almeno uno degli esercizi proposti;
** Il colloquio orale consiste nell'esposizione di alcuni concetti e aspetti teorici riguardanti gli argomenti svolti durante il corso e nella discussione degli elaborati prodotti durante le prove scritte.
In sostituzione dell'esame scritto sono possibili anche 2 prove scritte parziali che devono essere superate con il voto di almeno 16/31 (la prima viene svolta a meta' del corso e la seconda al termine).
Il voto finale viene calcolato attraverso la formula: se S e' il voto dello scritto (da 0 a 31) e O e' il voto dell'orale (da 0 a 31) allora posto m=minimo {S,O} e M=massimo {S,O}, il voto finale e' dato dalla parte intera di V= (2m+3M):5, arrotondato al numero intero piu' vicino.
Le prove scritte sono cosi' distribuite:
un esame parziale a meta' corso;
3 scritti (di tipo parziale e\o totali a scelta dello studente) tra giugno-luglio;
1 scritto totale a settembre;
2 scritti totali tra gennaio e febbraio;
Dopo il superamento dello scritto, si ha tempo entro il primo appello della sessione di esami successiva per completare l'esame con la prova orale.
Se richiesto da più studenti, è possibile fissare al piu' altri due appelli straordinari in altri periodi dell'anno: uno tra marzo e maggio, laltro tra ottobre e dicembre. In tal caso l'esame orale deve essere sostenuto entro due settimane dall'esame scritto.
Testi di riferimento
(1) Analisi matematica 2 di N. Fusco-P. Marcellini-C. Sbordone
(2) Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie di A. Malusa (Edizioni La Dotta)
(3) Equazioni differenziali ordinarie di L. Piccinnini-G. stampacchia-G. Vidossich
(4)Analisi 2 di Bramanti-Pagani-Salsa
(5) Equazioni Differenziali Ordinarie di V.I.Arnold
(6) Appunti del corso.
