Informazioni utili

Docente: Damiano Foschi

Obiettivi formativi:

• Introdurre lo studente ai concetti e alle problematiche principali legate alle equazioni differenziali ordinarie.
• Fornire metodi per la risoluzione di equazioni e sistemi di equazioni differenziali lineari e non lineari.
• Fornire strumenti per lo studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale.

Prerequisiti:

• - analisi matematica:
• calcolo di derivate
• metodi di integrazione: per parti e per sostituzione
• numeri complessi, esponenziale complesso
• compattezza in R^n
• teorema fondamentale del calcolo
• convergenza uniforme di successioni di funzioni
• teorema delle funzioni implicite
• - algebra lineare:
• autovalori e autovettori di una matrice
• diagonalizzazione di matrici

Contenuti del corso:

• Motivazioni ed esempi: modelli ecologici unidimensionali, modello predatore-preda, circuiti RLC.
• Prime definizioni (equazioni differenziali ordinarie, problema di Cauchy) e primi metodi di risoluzione per le equazioni differenziali in forma normale: equazione a variabili separabili, equazione differenziale lineare del primo ordine, 1-forme ed equazioni differenziali. Equazione di Bernoulli. Equazioni differenziali in forma non normale. Equazione di Clairaut. Equazioni autonome. Equazioni omogenee. Equazione di Riccati.
• Equazioni differenziali lineari di ordine n. Polinomio caratteristico. Equazione di Eulero. Metodo di variazione delle costanti.
• Sistemi lineari del primo ordine: esponenziale di una matrice e forma di Jordan.
• Teoria generale di base: esistenza e unicità locale  della soluzione in ipotesi di Lipschitz (sia con il metodo di Picard, sia con il teorema delle contrazioni). Discussione e risoluzione di problemi di Cauchy connessi a vari tipi di equazioni differenziali.
• Lemma di Gronwall. Soluzioni massimali e  prolungamento delle soluzioni.  Dipendenza continua dal dato iniziale.
• Esistenza per il problema di Cauchy nell'ipotesi di continuità. Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema di Peano.
• Studio qualitativo di un'equazione: teorema del confronto, teorema di monotonia e teorema dell'asintoto.
• (se rimane tempo) Stabilità dei punti di equilibrio per sistemi non lineari. Linearizzazione e funzioni di Lyapunov. Grafico qualitativo delle orbite nel piano delle fasi. Integrali primi.

Testi di riferimento:

1. Analisi matematica 2 di Enrico Giusti (Bollati Boringhieri)
2. Analisi matematica 2 di N. Fusco-P. Marcellini-C. Sbordone
3. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie di A. Malusa (Edizioni La Dotta)
4. Equazioni differenziali ordinarie di L. Piccinnini-G. stampacchia-G. Vidossich
5. Equazioni Differenziali Ordinarie di V.I.Arnold
6. Appunti del corso.