CALCOLO STOCASTICO E MERCATI FINANZIARI
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2022/2023
- Docente
- GIACOMO DIMARCO
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/07
Obiettivi formativi
- Scopo del corso è fornire agli studenti, oltre ad alcune nozioni di matematica finanziaria elementare, i metodi matematici e i concetti di base della matematica finanziaria moderna.
Alla fine del corso le principali conoscenze acquisite saranno:
• nozioni di base relativamente ad obbligazioni, azioni e titoli derivati, mercati finanziari, leggi finanziarie e portafoglio di arbitraggio
• proprietà matematiche delle opzioni
• concetto di processo stocastico e proprietà di particolari processi stocastici
• calcolo stocastico integrale e differenziale
• modelli di prezzi azionari
• formula di Black e Scholes per opzioni call e put europee, sue estensioni ed applicazioni.
Alla fine del corso le principali abilità saranno:
• riconoscere i titoli finanziari rischiosi
• valutare la convenienza di mutui o finanziamenti tramite il confronto di tan e taeg
• valutare la profittabilità di un progetto mediante il metodo del valore attuale netto
• risolvere equazioni differenziali stocastiche semplici o lineari
• valutare il prezzo di opzioni call o put europee prima della data di esercizio
• comporre un portafoglio coperto mediante la strategia di Delta-hedging
• valutare le azioni e le obbligazioni emesse da un’impresa mediante la formula di Black e Scholes
• esporre gli argomenti trattati nel corso utilizzando il linguaggio del mondo delle finanze. Prerequisiti
- Conoscenza approfondita del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di una o piu' variabili con particolare riguardo alla teoria dell'integrazione secondo Lebesgue. Tali argomenti sono svolti negli insegnamenti di Analisi Matematica 1 e Analisi Matematica 2 (corso di Laurea in Matematica).
Nozioni elementari di Calcolo delle Probabilita' Contenuti del corso
- Il corso si svolge in 48 ore.
Il programma consta essenzialmente di tre parti strettamente correlate tra loro.
PARTE 1
MERCATI FINANZIARI: obbligazioni, azioni, titoli derivati, mercati finanziari e Borsa Valori, leggi finanziarie, rendite, contratti forward e future, nozioni di base su opzioni, swap, warrant e obbligazioni convertibili, portafoglio di arbitraggio (10 ore)
PROPRIETA’ MATEMATICHE DELLE OPZIONI: proprietà delle call europee e americane, relazione di parità put – call, utilizzo delle opzioni, opzioni esotiche (4 ore).
PARTE 2
RICHIAMI DI TEORIA DELLA PROBILITA’: spazio di probabilità, variabili casuali, loro integrazione rispetto ad una misura di probabilità, variabili casuali indipendenti, momenti di una variabile casuale, aspettative condizionate (8 ore)
PROCESSI STOCASTICI: definizione di processo stocastico, martingale, processo di Wiener e sue proprietà (4 ore)
CALCOLO CLASSICO E CALCOLO STOCASTICO: integrale di Riemann-Stieltjes, definizione di integrale stocastico di Ito, esempio di calcolo di integrale stocastico, proprietà dell'integrale stocastico (7 ore)
CALCOLO DIFFERENZIALE STOCASTICO: Definizione di differenziale stocastico, formula di Ito e sue applicazioni, equazioni differenziali stocastiche, soluzione forte e debole, teorema di esistenza e unicità della soluzione forte, equazioni differenziali stocastiche, equazioni differenziali stocastiche lineari, esempi, processo geometrico e sue proprietà (5 ore).
PARTE 3
IL MODELLO DI BLACK E SCHOLES DI VALUTAZIONE DELLE OPZIONI CALL: modelli matematici per i prezzi azionari, determinazione del prezzo delle opzioni call europee: equazione di Black e Scholes e risoluzione del problema di Black e Scholes data la condizione finale, calcolo delle greche e di altre derivate della funzione c della formula di Black e Scholes (6 ore)
ESTENSIONI DELLA FORMULA DI BLACK E SCHOLES E APPLICAZIONI: formula di Black e Scholes per call americane e put europee, put americane perpetue, estensioni del modello di Black e Scholes, applicazioni della formula di Black e Scholes: valutazione dei titoli emessi da un’impresa, strategie di copertura di Delta-hedging, opzioni reali (4 ore). Metodi didattici
- Il corso è organizzato mediante lezioni su tutti gli argomenti del programma. Sono svolte anche esercitazioni volte a chiarire ed esemplificare la trattazione.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- Lo scopo dell'esame è quello di verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati.
La verifica dell'apprendimento è basata su un esame orale costituito da un colloquio su tutte le tematiche trattate nel corso. All'inizio dell'esame lo studente deve presentare lo svolgimento di alcuni esercizi assegnati durante le lezioni. Dopo la discussione sugli esercizi, lo studente sarà invitato ad esporre un argomento a sua scelta in maniera ampia e dettagliata. Le successive domande sulla restante parte del programma sono volte a verificare la comprensione delle nozioni di base e la capacità di collegare e confrontare aspetti diversi trattati durante il corso. Per tale motivo non sono richiesti dettagli dimostrativi.
Al voto finale contribuiranno tutte le parti dell'esame. Testi di riferimento
- Appunti del docente reperibili sul minisito del corso.
Specifici argomenti possono essere approfonditi in:
E. Agliardi, R. Agliardi: "Mercati finanziari. Analisi stocastica delle opzioni", Mc Graw-Hill, 2001.
A. Pascucci: "Calcolo stocastico per la finanza", Springer, 2007.
B. Oksendal: "Stochastic Differential Equations", Springer, 2005.
V. Capasso, D. Bakstein: "An Introduction to Continuous - Time Stochhastic Processes", Birkhauser, 2012.
