Analisi Numerica I a.a. 2021/22

Docente: Prof. Valeria Ruggiero

ORARIO DELLE LEZIONI (1° Semestre) - Inizio lezioni dal 28 Settembre 2021:

Martedì, ore 9:00-11

Giovedì, ore 8:45-10:45 (Laboratorio F9 Chiostro di Santa Maria delle Grazie)

Venerdì, ore 10:30-12:30

Materiale su classroom: xsiuea6

Supporto: Dott. Irene Bellettati  - giovedi' 16:30-18:30, Aula A1 di Palazzo Manfredini (irene.bellettati@edu.unife.it;  classroom z5eciyy)

Ricevimento: previo appuntamento via e-mail.

Per informazioni, comunicazioni veloci e problemi relativi al corso: rgv@unife.it

Modalità di esame:

scritto - orale

CALENDARIO DELLE LEZIONI

28 settembre 2021 - Introduzione al corso. Rappresentazione posizionale dei numeri reali.

30 settembre 2021 - Algoritmi di conversione; schema di Horner. Laboratorio: implementazione metodo delle divisioni successive algoritmi di conversione

1 ottobre 2021 - Numeri fixed point. Operazioni tra numeri fixed point. Numeri floating point. Esempi ed esercizi. Teorema dell'errore di rappresentazione. Teorema sulla precisione di macchina.

5 ottobre 2021 - Realizzazione dell'algoritmo di precisione di macchina. Operazioni tra numeri floating point. Non validità delle proprietà formali delle operazioni. Cause di errore nelle espressioni.

7 ottobre 2021 - Laboratorio: algoritmi di conversione e schema di Horner. Esercizi

8 ottobre 2021 -  Analisi in avanti. Stabilità di un algoritmo. Alcuni esempi di analisi in avanti sugli algoritmi di base (prodotti di n numeri, somma di n numeri, prodotto scalare). Analisi dell'errore inerente. Indice di condizionamento. Condizionamento di un problema.

12 ottobre 2021 - Condizionamento delle operazioni di base. Errore totale. Metodo dei grafi. Richiami sulle norme di vettori.

14 ottobre 2021 - Laboratorio: schema di Horner; esempi di codici su questioni di stabilità

15 ottobre 2021 - Norme di matrici. Metodi diretti per il calcolo dell'inversa di matrici triangolari e per la risoluzione di sistemi diagonali e triangolari.

19 ottobre 2021 - Esistenza della fattorizzazione A=LDU di una matrice. Unicità della fattorizzazione LDU. Trasformazioni elementari di Gauss. Algoritmo di Gauss per la fattorizzazione di una matrice e per la risoluzione di un sistema

21 ottobre 2021 - Laboratorio: esercizi di ricapitolazione su stabilità e condizionamento. Applicazioni in Matlab sull'algoritmo di Gauss.

22 ottobre 2021 - Condizioni sufficienti per l’applicazione del metodo di Gauss. Teorema di Cholesky.  Implementazione dell'algoritmo di Cholesky. Matrici di permutazione. Fattorizzazione PA=LR.

26 ottobre 2021 - Algoritmo di Gauss con pivoting parziale. Esempi sulla stabilità. Implementazione. Fattorizzazione PAQ=LR: algoritmo di Gauss con pivoting totale. Algoritmi per la risoluzione di  sistemi tridiagonali (algoritmo di Thomas) e di sistemi di Hessemberg. Cenni sui riordinamenti per ridurre il fill-in.

28 ottobre 2021 - Laboratorio - Applicazioni in Matlab su fattorizzazioni con permutazione, anche su matrici con struttura.

29 ottobre 2021 - Proprietà degli operatori ortogonali. Trasformazioni di Givens. Fattorizzazione QR di una matrice. Esempi ed applicazioni. Implementazione di QR. Differenze numeriche tra il procedimento di Gram-Schmidt e la fattorizzazione QR .

2 novembre 2021 - Condizionamento di un sistema lineare. Proprietà del numero di condizionamento di una matrice. Stima del numero di condizione di una matrice. Stabilità degli algoritmi di fattorizzazione:definizione di stabilità debole e forte.

4 novembre 2021 -  Laboratorio - Applicazioni in Matlab su fattorizzazioni QR; calcolo dell'inversa di matrice e algoritmo di Gauss Jordan; applicazioni sul condizionamento.

5 novembre 2021 - Stabilità degli algoritmi di fattorizzazione. Localizzazione degli autovalori di una matrice. Condizioni per la convergenza di matrici.

9 novembre 2021 - Generalità sui metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza. Metodo di Iacobi e di Gauss-Seidel. Convergenza dei metodi di Iacobi e Gauss Seidel. Decomposizioni regolari. M-matrici.

11 novembre 2021 - Istruzioni Matlab per la memorizzazione sparsa di matrici. Implementazione dei metodi di Iacobi e Gauss-Seidel

12 novembre 2021 - Decomposizioni P-regolari. Metodi parametrici. Metodo SOR. Scelta del parametro per matrici ordinate in modo consistente nel metodo SOR. Implementazione di SOR. Generalità sull'approssimazione di dati e funzioni.

16 novembre 2021 - Interpolazione lineare: esistenza e unicità dell'interpolante. Equivalenza tra la condizione di unisolvenza e la condizione di Haar.  Interpolazione polinomiale: esistenza  unicità; il polinomio di Lagrange. Implementazione del polinomio di Lagrange. Errore nell'interpolazione polinomiale. Esempi sull'errore di Interpolazione

18 novembre 2021 - Applicazioni sui metodi iterativi. Metodo alle differenze finite e convergenza: una applicazione ingegneristica: momento flettente di una trave.

19 novembre 2021 - Polinomi di Chebyshev e proprietà. Nodi di Chebyshev.  Differenze divise e polinomio di Newton.

23 novembre 2021 - Esempi e implementazione del polinomio di Newton.  Polinomio di Taylor. - Interpolazione di Hermite. Errore nell'interpolazione di Hermite

25 novembre 2021 - Laboratorio - Esercizi sull'interpolazione polinomiale; applicazioni in Matlab di interpolazione polinomiale

26 novembre 2021 - Condizionamento del problema dell'interpolazione polinomiale. Fenomeno di Runge. Definizione di funzioni spline. Teorema di rappresentazione. Interpolazione con spline lineari. Errore e implementazione.

30 novembre 2021 - Interpolazione cubica a tratti di Bessel. Interpolazione con spline cubiche; proprietà delle spline cubiche interpolanti e utilizzo della funzione spline di Matlab.

2 dicembre 2021 - Laboratorio. Calcolo del polinomio di Hermite in Matlab; confronto tra interpolazione polinomiale e con spline lineari in relazione al fenomeno di Runge.  Esercitazione su spline cubiche di interpolazione.

3 dicembre 2021 - Approssimazione lineare di dati con la tecnica dei minimi quadrati. Sistema delle equazioni normali e teorema di caratterizzazione delle soluzioni.  Approssimazione polinomiale con il criterio dei minimi quadrati.

7 dicembre 2021 - . Metodi numerici per la risoluzione del problema (sistema delle equazioni normali e uso della fattorizzazione QR). Risoluzione di equazioni non lineari. Metodo di bisezione. Problema di punto fisso. Condizioni sufficienti per esistenza e unicità del punto fisso. Metodo delle approssimazioni successive: convergenza, proprietà.

9 dicembre 2021 - Laboratorio. Esercitazione su spline cubiche di interpolazione. Applicazioni sul metodo lineare dei minimi quadrati in Matlab.

10 dicembre 2021 -   Applicazioni. Teorema di convergenza locale. Proprietà del metodo delle approssimazioni successive in presenza di aritmetica finita  Ordine di convergenza. Teorema di Ostrowski.

14 dicembre 2021 -  Metodo di Newton: convergenza locale. Proprietà del metodo di Newton. Caso di zeri multipli. Metodo di Halley.

16 dicembre 2021 -  Esercizi sui minimi quadrati. - Applicazioni del metodo di bisezione, delle approssimazioni successive e del metodo di Newton; stima della velocità di convergenza dei metodi

17 dicembre 2021 - Metodi interpolatori: regula falsi, metodo della secante, metodo di Muller e dell'interpolazione quadratica inversa. Accelerazione di Aitken. Zeri di polinomi e variante di Newton-Maelhy. Condizione del problema della determinazione dello zero di una funzione.

21 dicembre 2021 - Laboratorio:  Tecniche di globalizzazione del metodo di Newton. Caso di zeri multipli. Metodo di Halley. Applicazioni sui metodi interpolatori e stima della velocità di convergenza.