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ANALISI MATEMATICA

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2022/2023
Docente
LORENZO BRASCO
Crediti formativi
12
Periodo didattico
Annuale
SSD
MAT/05

Obiettivi formativi

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Modulo: 64317 - ANALISI MATEMATICA A
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Scopo di questo corso è fornire agli studenti le conoscenze di base del calcolo differenziale ed integrale di una e più variabili. Si cercherà anche, malgrado le poche ore a disposizione, di far nascere nei discenti una certa coscienza critica che consenta loro di utilizzare in modo consapevole gli strumenti matematici di cui verranno in possesso. Infine si cercherà di dare un po' di spazio alla discussione e risoluzione, mediante il calcolo integrale e differenziale, di problemi di tipo applicativo. Alla fine del corso gli studenti dovranno essere in grado di risolvere vari problemi di massimo e minimo (sia liberi che vincolati), saper studiare una funzione di una o più variabili reali, calcolare volumi, aree di superficie, baricentri, momenti di inerzia di lamine e di solidi, calcolare il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa o con bordo

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Modulo: 64318 - ANALISI MATEMATICA B
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Scopo di questo corso è fornire agli studenti le conoscenze di base del calcolo differenziale ed integrale di una e più variabili. Si cercherà anche, malgrado le poche ore a disposizione, di far nascere nei discenti una certa coscienza critica che consenta loro di utilizzare in modo consapevole gli strumenti matematici di cui verranno in possesso. Infine si cercherà di dare un po' di spazio alla discussione e risoluzione, mediante il calcolo integrale e differenziale, di problemi di tipo applicativo. Alla fine del corso gli studenti dovranno essere in grado di risolvere vari problemi di massimo e minimo (sia liberi che vincolati), saper studiare una funzione di una o più variabili reali, calcolare volumi, aree di superficie, baricentri, momenti di inerzia di lamine e di solidi, calcolare il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa o con bordo

Prerequisiti

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Modulo: 64317 - ANALISI MATEMATICA A
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I prerequisiti sono le nozioni di base di geometria, algebra e trigonometria normalmente insegnate in ogni scuola media superiore.

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Modulo: 64318 - ANALISI MATEMATICA B
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I prerequisiti sono le nozioni di base di geometria, algebra e trigonometria normalmente insegnate in ogni scuola media superiore.

Contenuti del corso

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Modulo: 64317 - ANALISI MATEMATICA A
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- Teoria degli insiemi
- Sistemi numerici (naturali, interi, razionali e reali)
- Principio di induzione
- Estremo superiore ed inferiore
- Funzioni (iniettività, suriettività, invertibilità)
- Funzioni reali elementari
- Successioni
- Equivalenze asintotiche ed o-piccoli
- Criteri di convergenza per successioni (confronto, successioni monotone, radice n-esima, rapporto)
- Teorema di Stolz-Cesaro
- Classificazione di infiniti e infinitesimi
- La costante "e" di Nepero
- Serie numeriche
- Criteri di convergenza per serie numeriche a segno costante (confronto, confronto asintotico, radice n-esima, rapporto, condensazione)
- Criteri di convergenza per serie numeriche di segno qualunque (assoluta convergenza)
- Limiti di funzioni
- Teoremi sui limiti
- Limiti notevoli ed equivalenze asintotiche notevoli
- Asintoti orizzontali, verticali, obliqui
- Continuità
- Teoremi sulle funzioni continue: permanenza del segno, Teorema degli zeri, Teorema dei valori intermedi, Teorema di Weierstrass
- Calcolo differenziale: derivate e regole di derivazione
- Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange e loro corollari
- Test di monotonia
- Derivate successive
- Formula di Taylor con resto di Peano
- Calcolo Integrale: costruzione dell'integrale di Riemann
- Teorema del valor medio
- Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone
- Teorema fondamentale del calcolo integrale
- Tecniche di integrazione: per parti e per sostituzione
- Primitiva di una funzione razionale
- Cambi di variabile speciali: formule parametriche per le funzioni trigonometriche e funzioni iperboliche (coseno, seno e tangenti iperboliche e loro inverse)

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Modulo: 64318 - ANALISI MATEMATICA B
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- Curve nello spazio
- Curve regolari e rettificabili
- Versore tangente
- Riparametrizzazioni
- Lunghezza di una curva
- Ascissa curvilinea
- Curve nel piano: forma cartesiana, forma polare, versore normale, curvatura
- Topologia in R^N
- Grafici e insiemi di livello
- Limiti e continuità per funzioni di più variabili
- Calcolo dei limiti in due variabili: analisi delle forme di indeterminazione
- Il criterio delle 2 curve per i limiti
- Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
- Derivate parziali
- Piano tangente e differenziabilità
- Teorema del differenziale totale
- Derivate direzionali
- Derivate successive
- Teorema di Schwarz
- Formula di Taylor al secondo ordine
- Matrice Hessiana
- Massimi e minimi liberi
- Punti critici
- Forme quadratiche
- Studio della natura dei punti critici (massimo e minimi locali, punti sella)
- Massimi e minimi vincolati: metodo dei moltiplicatori di Lagrange
- Superfici regolari
- Calcolo integrale per funzioni di più variabili
- integrali di linea
- baricentro e momento di inerzia di una curva
- Integrazione multipla
- Integrali doppi: definizione e calcolo come integrali iterati
- Cambiamento di variabili negli integrali multipli
- Integrali tripli
- baricentro e momento di inerzia di aperti in R^2 e R^3
- Integrali superficiali
- area, baricentro e momento di inerzia del sostegno di una superficie
- Campi vettoriali
- Lavoro di un campo vettoriale
- Campi conservativi e potenziali
- Campi solenoidali
- Campi irrotazionali
- Condizioni necessarie e sufficienti affinché un campo sia conservativo
- Flusso di un campo vettoriale
- Il teorema della divergenza

Metodi didattici

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Modulo: 64317 - ANALISI MATEMATICA A
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Lezioni teoriche ed esercitazioni in aula su tutti i contenuti del corso.

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Modulo: 64318 - ANALISI MATEMATICA B
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Lezioni teoriche ed esercitazioni in aula su tutti i contenuti del corso.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.

PROVA SCRITTA: suddivisa in 2 parti, così fatte

- la prima parte consta di 10 esercizi, lo studente deve solo fornire la risposta. In caso di risposta esatta, ogni esercizio vale 2 punti. Gli esercizi in questa parte sono del tipo: trovare massimo o minimo di una funzione di una variabile, calcolo di primitive elementari, calcolo di limiti di funzioni o successioni (eventualmente con l'uso della formula di Taylor), determinare il carattere di una serie, risoluzione di un'equazione trigonometrica o logaritmica, determinare la retta tangente al grafico, trovare i punti di flesso di una funzione, trovare e classificare i punti critici di una funzione di più variabili, calcolo della lunghezza o della curvatura di una curva, calcolo di un integrale doppio o triplo semplice, calcolo del potenziale di un campo conservativo, riconoscere campi vettoriali conservativi, determinare il piano tangente al grafico di una funzione di 2 variabili, calcolo di una derivata direzionale, calcolo del lavoro di un campo vettoriale lungo una curva, trovare una superficie o una curva a partire dal suo sostegno, calcolo di baricentri o momenti di inerzia

- la seconda parte consta di 2 esercizi, in cui lo studente deve fornire tutto lo svolgimento. Ogni esercizio della seconda parte vale 7 o 8 punti. Tipicamente, si tratta di studiare una funzione di una variabile, calcolare un integrale di una o più variabili, calcolare il momento di inerzia di una figura bidimensionale o tridimensionale elaborata, studiare una superficie, calcolare il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa o con bordo.

ATTENZIONE: requisito indispensabile perché la seconda parte dello scritto venga corretta, è che lo studente totalizzi almeno 5 risposte corrette su 10 nella prima parte. In caso contrario, la prova è ritenuta insufficiente.

PROVA ORALE: qualora il voto della prova scritta A+B sia superiore o uguale a 15/30, lo studente deve sostenere una prova orale, della durata di 15-30 minuti. Durante la prova orale, lo studente dovrà rispondere a 2 domande di carattere teorico sul corso. Le 2 domande sono prese dalla seguente lista:

1) definizione di limite (per successioni e funzioni, di una e più variabili reali) e definizione di funzione continua (per funzioni di una e più variabili)
2) sup e inf
3) criteri di convergenza per successioni e serie
4) serie geometrica e armonica generalizzata (loro definizione e convergenza)
5) teorema degli zeri e dei valori intermedi
6) teorema di Weierstrass (in una e più variabili)
7) teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy e de L'Hopital
8) formula di Taylor
9) teorema fondamentale del calcolo integrale
10) criteri di integrabilità per funzioni di una variabile
11) limiti ed asintotici notevoli
12) lunghezza di una curva e teorema di rettificabilità delle curve regolari
13) versore tangente, versore normale e curvatura di una curva nel piano
14) differenziabilità per funzioni di più variabili e teorema del differenziale totale
15) Hessiana di una funzione e teorema di Schwarz
16) gradiente e derivata direzionale
17) insiemi di livello di una funzione
18) punti critici e studio della loro natura tramite l'analisi della matrice hessiana
19) teorema dei moltiplicatori di Lagrange
20) integrali doppi e tripli
21) integrali di linea e di superficie
22) campi vettoriali conservativi: definizione e condizioni necessarie e/o sufficienti affinché un campo sia conservativo
23) teorema della divergenza

Alla fine della prova orale, in caso di esito positivo lo studente otterrà il voto definitivo, che sarà superiore o uguale a 18/30. Esso potrà anche essere inferiore al voto della prova scritta. In caso di esito negativo, l'esame non si ritiene superato e lo studente dovrà rifare lo scritto ad uno degli appelli successivi.

Testi di riferimento

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Modulo: 64317 - ANALISI MATEMATICA A
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Il testo consigliato e' :

- M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: MATEMATICA Calcolo Infinitesimale ed Algebra Lineare, Ed. Zanichelli (seconda edizione)

Sulla pagina del corso sono presenti le dispense complete sulla parte di Analisi Matematica A e le slide delle lezioni dell'AA precedente

Per gli esercizi, si consigliano i seguenti testi: per il primo semestre

- P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica (parte prima & parte seconda), Ed. Liguori

per il secondo semestre

- P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due (Vol. I & II), Ed. Zanichelli

Si possono consultare anche le:

- Dispense del Prof. Codecà (presso il Centro Copie di Ingegneria)

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Modulo: 64318 - ANALISI MATEMATICA B
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Il testo consigliato e' :

- M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: MATEMATICA Calcolo Infinitesimale ed Algebra Lineare, Ed. Zanichelli (seconda edizione)

Sulla pagina del corso sono presenti le dispense complete sulla parte di Analisi Matematica A e le slide delle lezioni dell'AA precedente

Per gli esercizi, si consigliano i seguenti testi: per il primo semestre

- P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica (parte prima & parte seconda), Ed. Liguori

per il secondo semestre

- P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due (Vol. I & II), Ed. Zanichelli

Si possono consultare anche le:

- Dispense del Prof. Codecà (presso il Centro Copie di Ingegneria)