Quantificatori e negazione

faccio confusione nel capire dove devo applicare la negazione al terzo passo del procedimento di trasformazione delle formule logiche in clausole. Ad esempio:

1. compito 29 marzo 2007 es. 1

    ∀ X (movable(X) → blue(X)) → (∀ Y (not movable(Y) → green(Y)))

   noti che c'è un'imprecisione; la formula non è quella che ha riportato lei, ma la seguente, in cui c'è una parentesi in più:

   [∀ X (movable(X) → blue(X))] → (∀ Y (not movable(Y) → green(Y)))

   le due formule non sono equivalenti.

    

   in questo caso la negazione della formula viene applicata in testa quindi otteniamo:

    not [∀ X (movable(X) → blue(X)) → (∀ Y (not movable(Y) → green(Y)))]

   Non ho capito come mai deve negare la formula. Forse è perché deve trasformare le implicazioni in disgiunzioni, per cui diventerebbe:

   not [∀ X (movable(X) → blue(X))] ∨ (∀ Y (not movable(Y) → green(Y)))

   (viene negato solo l'antecedente e il simbolo → diventa ∨)

2. compito 11 luglio 2006 es. 3

    ∀ X rettore(X) → umanista(X) ∨ medico(X) ∨ scienziato(X)

   in questo caso invece la negazione viene applicata alla fbf escluso il quantificatore iniziale, quindi:

    ∀ X not (rettore(X) → umanista(X) ∨ medico(X) ∨ scienziato(X)).

   anche qui nel compito non viene richiesto di negare la formula; invece è necessario trasformare l'implicazione, che diventa:

   ∀ X not (rettore(X)) ∨ umanista(X) ∨ medico(X) ∨ scienziato(X).

Comunque il diverso trattamento delle due formule è dovuto a dove sono posizionati i quantificatori. Nella prima abbiamo qualcosa del tipo:

    [∀ X (formula)] → conseguente

nella seconda abbiamo

    ∀ X (formula) → conseguente

che significa

    ∀ X [(formula) → conseguente]

quindi quando trasformiamo l'implicazione dobbiamo negare l'antecedente, che nel primo caso è

    [∀ X (formula)]

mentre nel secondo è solo

   (formula)

Il punto critico quindi sta nella traduzione dal linguaggio naturale alla logica del primo ordine. Nel primo caso la frase era: "Se tutti gli oggetti che si muovono sono blu, quelli che non si muovono sono verdi". Noti la struttura "Se tutti": questo dà l'idea che il ∀ sia dentro l'implicazione. Possiamo riscriverla come:

"Se è vero che
tutti gli oggetti che si muovono sono blu
allora è vero che
quelli che non si muovono sono verdi"

Non possiamo invece riscriverla come

"per ogni oggetto X
se è vero che
se X si muove è blu
allora è vero che
quelli che non si muovono sono verdi"

perché questa avrebbe un significato diverso.

Nel secondo, la frase era: "Tutti i rettori d’università sono di area umanistica o medica o scientifica", che possiamo riscrivere come

"per ogni X
se è vero che
X è un rettore
allora è vero che
è di area umanistica o medica o scientifica".