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ANALISI MATEMATICA II

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2022/2023
Docente
MASSIMILIANO DANIELE ROSINI
Crediti formativi
6
Periodo didattico
Primo Semestre
SSD
MAT/05

Obiettivi formativi

Il corso prosegue il percorso di formazione ed approfondimento sugli strumenti di calcolo della teoria dell'analisi matematica iniziato nei corsi di Analisi Matematica I.A e I.B.

L'obiettivo principale del corso consiste nell'insegnare alle studentesse ed agli studenti a comprendere ed utilizzare le tecniche elementari del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili e ad affrontare lo studio di successioni e serie di funzioni. L'acquisizione di questi strumenti matematici è ritenuta indispensabile per poter affrontare proficuamente i successivi insegnamenti di carattere tecnico.

Le principali conoscenze acquisite saranno:

* teoria delle serie numeriche e dei vari criteri di convergenza;
* teoria della convergenza puntuale ed uniforme, proprietà di passaggio al limite per successioni e serie di funzioni, in particolare serie di potenze, serie di Taylor e serie di Fourier;
* ricerca di punti critici ed estremali;
* geometria differenziale elementare per curve e superfici regolari nel piano e nello spazio;
* definizione e metodi di calcolo per integrali curvilinei ed integrali di superficie, applicazioni dei teoremi di Gauss-Green e di Stokes.

Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno quelle di saper:

* studiare la convergenza puntuale ed uniforme per successioni e serie di funzioni, in particolare serie di potenze;
* calcolare la serie di Taylor di una funzione differenziabile e la serie di Fourier di una funzione periodica;
* determinare e classificare i punti critici liberi e vincolati di una funzione di più variabili reali;
* determinare i valori estremali di una funzione di più variabili su un dato dominio;
* determinare i versori tangente e normale di una curva regolare parametrizzata;
* determinare il piano tangente ed il versore normale di una superficie regolare parametrizzata;
* calcolare integrali curvilinei di prima e seconda specie, integrali di superficie e integrali di flusso.

Prerequisiti

Tutti i contenuti del corso di Analisi Matematica I.B sono propedeutici. Tra cui in particolare:
* Funzioni elementari.
* Calcolo differenziale ed integrale in una o più variabili.
Inoltre è richiesta la conoscenza di:
* Algebra lineare elementare: applicazioni lineari, matrici, determinanti, prodotto vettoriale e prodotto scalare.
* Geometria elementare: rette, piani, coniche.

Contenuti del corso

I parte:
- Successioni numeriche
1 Introduzione (1 ora)
2 Limiti di successioni (1 ora)
3 Teorema di Bolzano-Weierstrass (1 ora)
4 Teorema ponte (1 ora)
5 Calcolo dei limiti di successioni numeriche (1 ora)
6 Asintoticità (1 ora)
7 Test di convergenza (2 ore)
8 Progressioni aritmetiche e geometriche (2 ore)
- Serie numeriche
9 Somme finite (2 ore)
10 Somme infinite (2 ore)
11 Test di convergenza (2 ore)
12 Serie dipendenti da un parametro (2 ore)
- Successioni di funzioni
13 Convergenza puntuale ed uniforme (2 ore)
- Problema di Cauchy
14 Introduzione (2 ore)
15 Teoremi di esistenza ed unicità locali (2 ore)
- Serie di funzioni
16 Risultati generali (2 ore)
17 Serie di Taylor (2 ore)
18 Serie di Fourier (2 ore)

II parte:
- Curve
1 Curva continua, regolare (1 ora)
2 Curve in forma polare (1 ora)
3 Lunghezza di un arco di curva (1 ora)
4 Ascissa curvilinea (1 ora)
5 Integrali di linea di prima specie (1 ora)
- Ottimizzazione
6 Massimi e minimi liberi. Punti critici (1 ora)
7 Forme quadratiche (1 ora)
8 Studio della natura dei punti critici (1 ora)
9 Funzioni definite implicitamente (1 ora)
10 Massimi e minimi vincolati (1 ora)
- Campi vettoriali
11 Linee integrali (1 ora)
12 Campi conservativi e potenziali (1 ora)
13 Operatori differenziali (1 ora)
14 Lavoro di un campo vettoriale (1 ora)
15 Il linguaggio delle forme differenziali (1 ora)
- Funzioni f : R^n -> R^m
16 Esempi (1 ora)
17 Superfici (1 ora)
18 Trasformazioni regolari di coordinate (1 ora)
19 Trasformazioni dell’elemento di volume (1 ora)
20 Trasformazioni di operatori differenziali (1 ora)
- Calcolo integrale per funzioni di più variabili
21 Integrale di superficie (2 ore)
22 Flusso di un campo vettoriale (2 ore)
23 La formula di Gauss-Green nel piano (2 ore)
24 Il teorema della divergenza (2 ore)
25 Il teorema del rotore (2 ore)

Metodi didattici

Lezioni in aula con presentazione degli aspetti teorici ed applicativi oltre allo svolgimento di esercizi.

Modalità di verifica dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento dei contenuti del corso avviene tramite un esame composto da due prove scritte: una di esercizi ed una di teoria. Agli scritti ci si deve presentare muniti di un documento di riconoscimento. Durante la prova scritta di esercizi è consentito l'utilizzo di penne biro, matite, scolorina, gomma, righello, calcolatrice e di un formulario manoscritto (1 foglio A4 fronte/retro) da consegnare alla fine della prova.

- Nella prima prova è richiesto di risolvere alcuni problemi ed esercizi. Il tempo previsto per la prova è di 2 ore. Allo svolgimento della prima prova scritta è assegnato un punteggio che varia tra 0 e 25. Per poter accedere alla seconda prova è necessario ottenere un punteggio di almeno 11 punti nella prima prova. Il punteggio della prima prova è considerato valido per un anno. Nel caso si sostenga positivamente più prime prove, verrà considerata quella con punteggio maggiore.

- Nella seconda prova sarà richiesto di rispondere ad alcune domande riguardanti definizioni, esempi, proprietà, formule, teoremi, dimostrazioni, o applicazioni. Il tempo previsto per la seconda prova è 20 minuti. Allo svolgimento della seconda prova scritta è assegnato un punteggio espresso in trentesimi che varia tra 0 e 7. La seconda prova è superata se si ottiene un punteggio di almeno 3 punti. Il mancato superamento della seconda prova non annulla il punteggio della prima prova, ma occorrerà sostenere un'altra delle prove scritte di teoria.

Il voto finale, espresso in trentesimi, terrà conto della somma dei punteggi ottenuti nelle due prove scritte e della partecipazione attiva alle lezioni ed al tutorato.

Il superamento dell'esame è prova di aver acquisito le conoscenze e le abilità specificate negli obiettivi formativi dell'insegnamento.

Testi di riferimento

Testo di riferimento:
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Calcolo infinitesimale e algebra lineare

Testi consigliati per approfondimento:
F.G. Alessio: Analisi Matematica 2, Teoria con esercizi svolti (Esculapio)
G. Anichini, G. Conti, M. Spadini: Analisi matematica 2 (Pearson)
M. Amar, A.M. Bersani: Analisi Matematica II Esercizi e richiami di teoria (Edizioni La Dotta)
V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi Matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale: 2 (Apogeo)
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Mc Graw Hill)
M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi Matematica 2 (Esculapio)
G. Catino, F. Punzo: Esercizi svolti di Analisi Matematica e Geometria 2 (Esculapio)
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 2 (Zanichelli )
W. Dambrosio: Analisi matematica Fare e comprendere (Zanichelli )
G. De Marco: Analisi Matematica II (Zanichelli )
G. De Marco: Esercizi di analisi Matematica II (Zanichelli)
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Lezioni di analisi matematica due (Zanichelli)
E. Giusti: Analisi Matematica II (Boringhieri)
E. Giusti: Esercizi e complementi di Analisi Matematica II (Boringhieri)
E.H. Lieb, M. Loss: Analysis (American Mathematical Society)
P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Analisi matematica Due (Zanichelli)
W. Rudin: Principi di Analisi Matematica (Mc Graw Hill)
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica II (Zanichelli)
E. Stein, R. Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (Princeton University Press)