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ANALISI MATEMATICA I.A

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2022/2023
Docente
CHIARA BOITI
Crediti formativi
6
Periodo didattico
Primo Semestre
SSD
MAT/05

Obiettivi formativi

Scopo del corso è quello di fornire agli studenti gli strumenti di base dell'analisi matematica, in particolare per quanto riguarda il calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale e le sue applicazioni alla risoluzione di problemi basati su modelli matematici.
Al termine del corso gli studenti dovranno conoscere i contenuti teorici e le metodologie proprie dell'analisi matematica.
Gli studenti dovranno inoltre sapere applicare in modo consapevole i concetti appresi alla risoluzione di problemi di vario genere, anche di tipo applicativo, e individuare l'approccio più appropriato alla risoluzione dei problemi proposti.
Gli studenti dovranno acquisire padronanza del linguaggio matematico e del metodo logico-deduttivo, mostrando capacità di argomentare le strategie risolutive dei problemi in modo logico, efficace, pertinente e sintetico.

Prerequisiti

Nozioni di matematica usualmente insegnate nelle scuole secondarie: equazioni e disequazioni (di primo e secondo grado, con valori assoluti, con radici, fratte), potenze, logaritmi, esponenziali, trigonometria. Tali contenuti vengono affrontati durante il precorso di matematica, prima dell'inizio delle lezioni, e verranno poi solo brevemente richiamati nei primi giorni di lezione.

Contenuti del corso

La durata complessiva del corso è di 60 ore, divise in 24 lezioni da 2 ore e 1/2. Nelle lezioni sono compresi anche esercizi
sugli argomenti trattati.
(1) Richiami di insiemistica, logica, equazioni e disequazioni (razionali, irrazionali, con valore assoluto). Insiemi numerici: N;Z;Q;R.
(2) Massimi e minimi. Estremi superiore ed inferiore. Richiami su potenze, esponenziali e logaritmi. Richiami di trigonometria.
(3) Fattoriale e Principio di induzione. Progressione aritmetica e geometrica. Disuguaglianza di Bernuoilli. Coefficienti binomiali e binomio di Newton.
(4) Funzioni: prime definizioni ed esempi, restrizioni e prolungamenti. Funzioni reali di variabile reale. Successioni. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Funzione composta.
(5) Funzione inversa. Funzioni trigonometriche inverse. Funzioni monotone. Funzioni parte intera, di Heaviside, segno, mantissa. Operazioni con le funzioni.
(6) Grafici elementari e trasformazioni di grafico (traslazioni, omotetie, simmetrie). Funzioni iperboliche e loro inverse. Funzioni limitate. Estremi superiori ed inferiori. Massimo e minimo assoluti.
(7) Proprietà locali, intorni. Retta reale estesa. Punti di accumulazione e punti isolati. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Insiemi aperti e chiusi, punti di frontiera. Proprietà valide localmente e definitivamente.
(8) Limiti di funzioni. Unicità del limite. Limiti destri e sinistri. Limiti per eccesso e per difetto. Limiti di funzioni monotone.
(9) Funzioni continue. Teorema della permanenza del segno. Algebra dei limiti. Operazioni con le funzioni continue. Teorema del confronto.
(10) Forme indeterminate. Limite della funzione composta. Continuità della composta. Limiti notevoli.
(11) Il numero di Nepero. Altri limiti notevoli. Infinitesimi, infiniti e confronti (o piccolo, relazioni asintotiche). Limiti notevoli per le successioni. Formula di Stirling.
(12) Non esistenza di limiti. Sottosuccessioni. Media aritmetica e media geometrica. Criteri di convergenza di Cesaro.
(13) Successioni definite per ricorrenza, successione di Fibonacci. Funzioni continue in un insieme. Punti di discontinuità.
(14) Funzioni continue in un intervallo: Teorema degli zeri e Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Continuità e monotonia. Invertibilità e monotonia.
(15) Rapporto incrementale e derivata (significato geometrico e significato fisico). Retta tangente. Continuità di una funzione derivabile. Punti angolosi e cuspidi.
(16) Operazioni algebriche con le derivate. Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa.
(17) Derivate di ordine superiore. Formula di Leibniz. Estremi relativi. Teorema di Fermat. Ricerca di massimi e minimi.
(18) Teorema di Rolle. Teorema di Cauchy. Teorema di Lagrange (del valor intermedio). Criteri di monotonia. Problemi di ottimizzazione. Relazione tra estremi relativi e derivata seconda.
(19) Convessità e concavità. Criteri di convessità. Punti di flesso. Regola di De l'Hôpital.
(20) Continuità e discontinuità della derivata prima. Formula di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange. Sviluppi notevoli. Problemi di approssimazione.
(21) Calcolo di limiti usando l'approssimazione di Taylor.
(22) Asintoti orizzontali, verticali e obliqui. Grafici di funzione.
(23) Esercizi sui grafici di funzione. Esercizi di riepilogo.
(24) Esercizi di riepilogo.

Metodi didattici

Si svolgeranno lezioni teoriche ed esercitazioni.
Nello svolgimento degli esercizi si cercherà anche di coinvolgere gli studenti. Verranno assegnati esercizi da svolgere a casa.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Durante il corso vengono assegnati alcuni esercizi su vari argomenti. Lo svolgimento di tali esercizi fa parte del processo d'apprendimento e la consegna di tali esercizi fa parte del metodo di valutazione dell'esame (vanno consegnati prima di sostenere l'esame). La prova d'esame è inoltre composta da una prova scritta e un colloquio orale.
- Nella prova scritta allo studente è richiesto di risolvere alcuni problemi ed esercizi relativi agli argomenti svolti. Non è consentito consultare testi né alcun tipo di calcolatrici. Lo studente può comunque consultare un foglio (A4, fronte-retro) da lui manoscritto in cui può appuntarsi ciò che vuole. Allo svolgimento della prova scritta è assegnato un punteggio espresso in trentesimi. Per superare la prova e poter accedere al colloquio orale è necessario ottenere un punteggio di almeno 15 punti.
- Nel colloquio orale allo studente sarà richiesto di presentare qualche aspetto di contenuti svolti durante il corso, illustrando alcune definizioni, esempi, esercizi, proprietà, formule, teoremi, dimostrazioni (facoltative), o applicazioni. Più che la conoscenza mnemonica degli argomenti, si vuole valutare la comprensione logica dei concetti, la precisione e il rigore del linguaggio matematico usato per descriverli e la capacità di cogliere la relazione tra gli aspetti astratti e le applicazioni concrete.
Il voto finale, espresso in trentesimi, viene proposto al termine del colloquio orale e terrà conto di tutti gli elementi che permettono al docente di valutare la preparazione dello studente: la partecipazione attiva alle lezioni e/o al tutorato, la consegna degli esercizi svolti durante l'anno, la correttezza e completezza dello svolgimento della prova scritta, la qualità dell'esposizione nel colloquio orale.

Testi di riferimento

Libro di testo adottato:
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli
"Analisi Matematica''
McGraw-Hill

Se si vuole anche un libro di testo ricco di esercizi svolti:
C. Canuto, A. Tabacco
"Analisi matematica 1"
Pearson

Si consiglia sempre l'ultima edizione disponibile.