Programma del corso

Obiettivi formativi

Il corso intende fornire allo studente i primi strumenti matematici fondamentali per poter affrontare proficuamente lo studio dei successivi corsi di carattere tecnico. Poiché la preparazione iniziale degli studenti è molto disomogenea, il primo obiettivo è riprendere e consolidare un adeguato bagaglio di conoscenze e/o abilità matematiche di base; gli approfondimenti e le nuove conoscenze sono finalizzate ad imparare l'utilizzazione del linguaggio matematico per formulare e valutare problemi a carattere applicativo e all'acquisizione di tecniche di calcolo riguardanti in particolare funzioni reali di una variabile reale.

Programma indicativo del corso

Il sistema dei numeri reali. Estremo inferiore ed estremo superiore di un insieme numerico.
Numeri complessi e loro proprietà; rappresentazione algebrica, geometrica, polare; esponenziale complesso; potenze e radici di complessi.
Successioni e serie numeriche. Serie geometrica e armonica. Criteri di convergenza. Serie a termini di segno alterno; convergenza assoluta.
Funzioni reali di una variabile reale. operazioni fra funzioni, grafico di una funzione, funzioni limitate, massimo e minimo, restrizioni e prolungamenti, funzioni crescenti e decrescenti, funzione inversa.
Funzioni elementari e loro grafici. Funzioni trigonometriche e loro inverse; grafici. Funzioni potenza, funzioni radice e loro grafici. Funzioni esponenziali, logaritmo e loro grafici.
Limiti e continuità. Algebra dei limiti; limiti notevoli. Prolungamento continuo, teoremi sulle funzioni continue in intervalli limitati e chiusi. Continuità e il teorema dei valori intermedi.
Derivate. Algebra delle derivate. Derivazione di funzione composta. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale. Funzioni monotone. Problemi di ottimizzazione. Applicazioni.
Integrale di Riemann. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Tecniche base di integrazione. Applicazioni.
Integrazione in senso generalizzato. Teoremi di convergenza. Funzioni integrali e loro proprietà.