Programma

Preliminari sugli spazi vettoriali, spazi normati e spazi Euclidei. Definizione della distanza mediante la norma e definizione di limite e continuita' per funzioni tra spazi Euclidei.

Curve parametrizzate, curve regolari. Proprieta' geometriche delle curve regolari; versore tangente. Esempi di curve nel piano e nello spazio; curve cartesiane, curve definite in forma polare. Lunghezza di una curva e determinazione della lunghezza di una curva regolare. Ascissa curvilinea, curve equivalenti e riparametrizzazioni per parametro d'arco. Normale principale ad una curva e curvatura. Decomposizione dell'accelerazione in componente tangenziale e componente normale.

Elementi di topologia; insiemi aperti e insiemi chiusi, proprieta' delle unioni e intersezioni di insiemi aperti e chiusi. Funzioni continue e loro caratterizzazione mediante successioni. Costruzione di insiemi chiusi e aperti tramite funzioni continue e caratterizzazione degli insiemi chiusi mediante successioni.

Studio della continuita' delle funzioni, mediante restrizioni a curve continue e mediante le coordinate polari.

Insiemi connessi per archi, insiemi limitati e insiemi compatti. Teorema di esistenza degli zeri per funzioni continue con connessi per archi e Teorema di Weierstrass su insiemi compatti. Proprieta' degli insiemi di livello e determinazione di massimi e minimi mediante gli insiemi di livello.

Calcolo differenziale per funzioni scalari; derivate parziali, differenziale e Teorema del differenziale totale (condizione sufficiente per la differenziabilita'). Piano tangente, retta normale, derivate direzionali e formule di derivazione per funzioni composte. Massima e minima crescita e relazione tra gradiente e insieme di livello di una funzione; Teorema della funzione implicita (o del Dini).

Calcolo differenziale per funzioni vettoriali; derivabilita' e differenziabilita' per componenti, formula del differenziale per la funzione composta. Esempi di funzioni vettoriali; cambi di coordinate, superfici parametrizzate regolari. Elementi di goemetria delle superfici parametrizzate regolari; piano tangente, retta normale. Teorema della funzione implicita nella formulazione generale.

Definizione del simbolo di Landau "o" piccolo e sviluppi di Taylor di ordine superiore al primo; applicazione degli sviluppi di Taylor per la determinazione della funzione implicita.

Applicazione alla teoria delle superfici e curve regolari nel piano e nello spazio. Superfici di rotazione; sfera, cono, cilindro, toro ed ellissoide. Diffeomorfismi e teorema di invertibilita' locale. Cambiamenti di coordinate; mappe lineari, coordinate polari, coordinate cilindriche e coordinate sferiche.

Teoria dell'integrazione; richiami della teoria degli integrali curvilinei, formula per il calcolo della lunghezza di una curva ed estensione al calcolo degli integrali curvilinei di prima (per funzioni scalari) e seconda (per funzioni vettoriali) specie.

Definizione dell'integrale multiplo su rettangoli; integrazione alla Riemann, mediante definizione di integrale superiore ed inferiore e definizione di funzione integrabile. Estensione dell';integrazione su domini limitati; definizione di insieme misurabile e condizioni necessarie e sufficienti per la misurabilita' (misurabilita' alla Peano-Jordan). Definizione di insieme semplice nel piano e formula di riduzione per il calcolo degli integrazli doppi. Misurabilia' degli insiemi semplici e definizione di insieme regolare. Formula di cambiamento di coordinate negli integrali doppi e calcolo di integrali doppi mediante le coordinate polari. Definizione di funzione assolutamente integrabile in senso generalizzato con alcune applicazioni; integrale della Gaussiana. Applicazioni della teoria degli integrali doppi per il calcolo di baricentri e momenti di inerzia. Definizione di dominio semplice e stratificato nello spazio; descrizione dell'integrazione "per fili" e "per strati". Calcolo di volumi per solidi regolari e per solidi di rotazione. Formula di cambiamento di coordinate per gli integrali tripli; calcolo di integrali tripli mediante le coordinate cilindriche, sferiche e trasformazioni generiche.

Massimi e minimi per funzioni di piu' variabili; definizione di punti di massimo e minimo locale e assoluto, punti estremali ed estremi di funzioni. Punti estremali liberi; condizioni necessarie nel caso di funzioni differenziabili e punti stazionari liberi. Derivate successive e Teorema di Schwarz; matrice Hessiana di una funzione derivabile due volte con continuita'. Condizioni sufficienti per l'estremalita'  dei punti stazionari; formula di Taylor al secondo ordine. Forme quadratiche definite positive, negative e indefinite. Test degli autovalori e Teorema di Sylvester. Massimi e minimi su insiemi compatti; definizione di punto stazionario vincolato e metodi per la determinazione dei punti stazionari vincolati. Metodo di parametrizzazione, sostituzione del vincolo e dei moltiplicatori di Lagrange.

Calcolo dell'area di una superficie parametrizzata e formule per il calcolo dell'area delle superfici cartesiane e di rotazione. Definizione dell'integrale di superficie di prima (per funzioni scalari) e seconda (per funzioni vettoriali) specie. Applicazioni al calcolo dei baricentri e dei momenti di inerzia. Applicazione degli integrali curvilinei e di superficie nello studio dei campi vettoriali; campi conservativi, condizioni sufficienti per la conservativita' di un campo. Teorema della divergenza e di Stokes e loro applicazioni per lo studio dei campi conservativi e il calcolo dei flussi di campi attraverso superfici.

Successioni di funzioni; definizione di convergenza puntuale e uniforme. Proprieta' della convergenza uniforme; passaggio al limite della continuita', integrabilita' e derivabilita'. Serie di funzioni; definizione di convergenza puntuale, puntuale assoluta, uniforme, uniforme assoluta e totale, con descrizione delle relazioni tra le varie convergenze. Passaggio al limite nella convergenza uniforme; continuita' della somma di una serie, integrabilita' e integrazione per serie, derivabilita' e derivazione per serie. Serie di potenze; definizione di raggio di convergenza. Proprieta' principali delle serie di potenze; continuita', derivabilita' e integrabilita'. Serie di Taylor; definizione ed alcuni esempi significativi, tra cui funzione esponenziale, seno, coseno, logaritmo, arcotangente e radice. Criterio di sviluppabilita' in serie di Taylor meidiante la formula di Taylor con resto di Lagrange. Serie di Fourier; funzioni continue e regolari a tratti. Definizione dei coefficienti di Fourier e della serie di Fourier associata ad una funzione continua a tratti. Proprieta' della convergenza di una serie di Fourier associata a funzioni continue e regolari a tratti; formula di Parseval. Estensione pari e dispari di una funzione e sviluppo in serie di soli seni o soli coseni. Applicazione della teoria delle serie di Fourier per il calcolo della somma di alcune serie numeriche. Descrizione del fenomeno di Gibbs.

Numeri complessi; definizione algebrica e cartesiana dei numeri complessi. Parte reale, parte immaginaria, coniugio e modulo di un numero complesso; descrizione delle principali proprieta'. Forma polare di un numero complesso; definizione dell'esponenziale immaginario e complesso. Principio di identita' tra numeri complessi in forma cartesiana, polare ed esponenziale; interpretazione geometrica della somma e del prodotto tra numeri complessi. Polinomi complessi; teorema fondamentale dell'algebra nelle due forme equivalenti. Polinomi a coefficienti reali e radici complesse coniugate. Calcolo della radice n-esima di un numero complesso.

Equazioni differenziali; definizione di equazione differenziale in forma implicita ed esplicita/normale. Ordine di un'equazione differenziale e riduzione di un'equazione di ordnie generico ad un'equazione del primo ordine. Problema di Cauchy; condizioni iniziali e problema ai valori iniziali. Teorema di Peano per l'esistenza di soluzioni per il problema di Cauchy e Teorema di esistenza e unicita' per il problema di Cauchy nel caso di funzione Lipschitziana; dimostrazione mediante approssimazioni successive. Alcuni esempi significativi di equazioni del primo ordine; ricerca della primitiva, equazione di Malthus, equazione a variabili separabili, equazioni lineari del primo ordine. Metodo della variazione delle costanti per la determinazione della soluzione completa dell'equazione lineare del primo ordine. Equazioni riconducibili ad equazioni a variabili separabili e lineari; equazioni omogenee ed equazioni di Bernoulli. Equazioni del secondo ordine riconducibili ad equazioni del primo ordine; equazioni autonome. Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti continui; struttura della soluzione generale e dimostrazione che l'insieme delle soluzioni dell'equazione omogenea associata e' uno spazio vettoriale di dimensione n. Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti. Determinazione dell'integrale generale dell'equazione omogenea associata mediante polinomio caratteristico e descrizione dei metodi "per somiglianza" e della variazione delle costanti per la determinazione di una soluzione particolare. Descrizione della matriche Wronskiana. Vibrazioni meccaniche; oscillatore armonico, non smorzato e smorzato con la descrizione dei fenomeni dei battimenti e della risonanza Applicazioni della teoria delle serie di Taylor e di Fourier per la determinazione delle soluzioni delle equazioni differenziali.

Per tutti gli argomenti trattati durante il corso sono previste delle esercitazioni in Laboratorio con utilizzo di Matlab. Gli incontri totali per tale attivita' sono otto e vertono sui seguenti argomenti:

- Curve: curve nel piano, in coordinate polari, curve nello spazio, vettori tangenti, lunghezza d'arco, grafico di funzioni, curve parametrizzate, curvatura.

- Funzioni di piu' variabili; grafici di funzioni continue e discontinue, derivate parziali, piani tangenti, gradiente nel piano e nello spazio.

- Superfici; superfici cartesiane, rotazione di grafici, superfici parametrizzate, grafici di funzioni, superfici di rotazione e piano tangente ad una superficie parametrizzata.

- Integrali multipli; integrali doppi, formule di riduzione per integrali doppi, integrali doppi su domini generici, disegno di insiemi nel piano, integrali tripli, integrali su domini generici, grafico di regioni solide.

- Integrali curvilinei e di superficie; integrali curvilinei sia per funzioni scalari che vettoriali, rappresentazione di campi vettoriali, aree di superfici parametrizzate, integrali di superficie sia per funzioni scalari che vettorlali, rappresentazione di campi vettoriali lungo superfici.

- Punti stazionari e massimi e minimi; classificazione dei punti stazionari, massimo e minimo di una funzione su rettangoli e su cerchi, massimi e minimi vincolati.

- Successioni e serie di funzioni; serie di potenze, serie di Taylor e serie di Fourier.

- Equazioni differenziali; linee di flusso, il metodo numerico ode45, integrazione simbolica di equazioni differenziali, sistemi di equazioni differenziali, equazioni di ordine superiore, soluzioni definite implicitamente, vibrazioni meccaniche (smorzate e non).

Programma relativo all'esame integrativo (per gli studenti che passano dal vecchio corso di 6 crediti al nuovo di 12 crediti)

Elementi di geometria delle superfici parametrizzate regolari; piano tangente, retta normale. Teorema dalla funzione implicita nella formulazione generale e applicazione alla teoria delle superfici; formule per il calcolo del piano tangente e della retta normale. Superfici di rotazione; cilindro, toro ed ellissoide.

Calcolo dell'area di una superficie parametrizzata e formule per il calcolo dell'area di superfici cartesiane e di rotazione. Definizione di integrale di superficie di prima (funzioni scalari) e seconda specie (funzioni vettoriali). Applicazione al calcolo di baricentri e momenti di inerzia. Applicazione degli integrali curvilinei e di superficie allo studio dei campi vettoriali; campi conservativi e condizioni necessarie e sufficienti per la conservativita'. Teorema della divergenza e di Stokes e loro applicazioni per lo studio dei campi conservativi e per il calcolo di flussi di campi attraverso superfici.

Successioni di funzioni; definizione di convergenza puntuale e uniforme. Proprieta' della convergenza uniforme; passaggio al limite della continuita', integrabilita' e derivabilita'.

Serie di funzioni; definizione di convergenza puntuale, puntuale assoluta, uniforme, uniforme assoluta e totale, con descrizione delle relazioni tra le varie convergenze. Passaggio al limite nella convergenza uniforme, continuita' della funzione somma di una serie, integrabilita' e integrazione per serie, derivabilita' e derivazione per serie. Serie di potenze; definizione di raggio di convergenza. Proprieta' principali delle serie di potenze; continuita', derivabilita' e integrabilita'. Serie di Taylor; definizione ed alcuni esempi significativi, tra cui la funzione esponenziale, seno, coseno, logaritmo, arcotangente e radice. Criterio di sviluppabilita' in serie di Taylor mediante la formula di Taylor con resto di Lagrange. Serie di Fourier; funzioni continue e regolari a tratti. Definizione dei coefficienti di Fourier e della serie di Fourier associata ad una funzione continua a tratti. Propreta' della convergenza di una serie di Fourier associata a funzioni continue e regolari a tratti; formula di Parseval. Estensione pari e dispari di una funzione e sviluppi in serie di soli seni o soli coseni. Applicazione della teoria delle serie di Fourier per il calcolo della somma di alcune serie numeriche. Descrizione del fenomeno di Gibbs.

Applicazione della teoria delle serie di Taylor e di Fourier per la determinazione delle soluzioni delle equazioni differenziali.