CALCOLO STOCASTICO E MERCATI FINANZIARI

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2016/2017
Docente
ALESSANDRA BORRELLI
Crediti formativi
6
Periodo didattico
Secondo Semestre
SSD
MAT/07

Obiettivi formativi

Scopo del corso è fornire agli studenti, oltre ad alcune nozioni di matematica finanziaria elementare, i metodi matematici e i concetti di base della matematica finanziaria moderna.
Alla fine del corso le principali conoscenze acquisite saranno:
• nozioni di base relativamente ad obbligazioni, azioni e titoli derivati, mercati finanziari, leggi finanziarie e portafoglio di arbitraggio
• proprietà matematiche delle opzioni
• concetto di processo stocastico e proprietà di particolari processi stocastici
• calcolo stocastico integrale e differenziale
• modelli di prezzi azionari
• formula di Black e Scholes per opzioni call e put europee, sue estensioni ed applicazioni.
Alla fine del corso le principali abilità saranno:
• riconoscere i titoli finanziari rischiosi
• valutare la convenienza di mutui o finanziamenti tramite il confronto di tan e taeg
• valutare la profittabilità di un progetto mediante il metodo del valore attuale netto
• risolvere equazioni differenziali stocastiche lineari in senso stretto
• valutare il prezzo di opzioni call o put europee prima della data di esercizio
• comporre un portafoglio coperto mediante la strategia di Delta-hedging
• valutare le azioni e le obbligazioni emesse da un’impresa mediante la formula di Black e Scholes
• esporre gli argomenti trattati nel corso utilizzando il linguaggio del mondo delle finanze.

Prerequisiti

Calcolo differenziale ed integrale per le funzioni reali di una o piu' variabili.
Nozioni elementari di calcolo delle probabilita'.

Contenuti del corso

Il corso si svolge in 48 ore.
Il programma consta essenzialmente di tre parti strettamente correlate tra loro.
PARTE 1
MERCATI FINANZIARI: obbligazioni, azioni, titoli derivati, mercati finanziari e Borsa Valori, leggi finanziarie, rendite, contratti forward e future, nozioni di base su opzioni, swap, warrant e obbligazioni convertibili, portafoglio di arbitraggio (10 ore)
PROPRIETA’ MATEMATICHE DELLE OPZIONI: proprietà delle call europee e americane, relazione di parità put – call, utilizzo delle opzioni, opzioni esotiche (4 ore).
PARTE 2
RICHIAMI DI TEORIA DELLA PROBILITA’: spazio di probabilità, variabili casuali, loro integrazione rispetto ad una misura di probabilità, variabili casuali indipendenti, momenti di una variabile casuale, aspettative condizionate (8 ore)
PROCESSI STOCASTICI: definizione di processo stocastico, martingale, processo di Wiener e sue proprietà (4 ore)
CALCOLO CLASSICO E CALCOLO STOCASTICO: integrale di Riemann-Stieltjes, definizione di integrale stocastico di Ito, esempio di calcolo di integrale stocastico, proprietà dell'integrale stocastico (7 ore)
CALCOLO DIFFERENZIALE STOCASTICO: Definizione di differenziale stocastico, formula di Ito e sue applicazioni, equazioni differenziali stocastiche, soluzione forte e debole, teorema di esistenza e unicità della soluzione forte, equazioni differenziali stocastiche, equazioni differenziali stocastiche lineari, esempi, processo geometrico e sue proprietà (5 ore).
PARTE 3
IL MODELLO DI BLACK E SCHOLES DI VALUTAZIONE DELLE OPZIONI CALL: modelli matematici per i prezzi azionari, determinazione del prezzo delle opzioni call europee: equazione di Black e Scholes e risoluzione del problema di Black e Scholes data la condizione finale, calcolo delle greche e di altre derivate della funzione c della formula di Black e Scholes (6 ore)
ESTENSIONI DELLA FORMULA DI BLACK E SCHOLES E APPLICAZIONI: formula di Black e Scholes per call americane e put europee, put americane perpetue, estensioni del modello di Black e Scholes, applicazioni della formula di Black e Scholes: valutazione dei titoli emessi da un’impresa, strategie di copertura di Delta-hedging, opzioni reali (4 ore).

Metodi didattici

Il corso è organizzato mediante lezioni in aula su tutti gli argomenti del programma. Sono svolte anche esercitazioni volte a chiarire ed esemplificare la trattazione. Inoltre sono previsti seminari integrativi al corso riguardanti simulazioni numeriche la cui frequenza è consigliata, ma non obbligatoria. Durante i seminari sono proposti agli studenti frequentanti alcuni progetti.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Lo scopo dell'esame è quello di verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati.
La verifica dell'apprendimento è basata su un esame orale costituito da un colloquio su tutte le tematiche trattate nel corso. La prima domanda è su un argomento scelto dallo studente che deve essere esposto in maniera ampia e dettagliata. Le successive domande sulla restante parte del programma sono volte a verificare la comprensione delle nozioni di base e la capacità di collegare e confrontare aspetti diversi trattati durante il corso. Per tale motivo non sono richiesti dettagli dimostrativi.
La risposta alla prima domanda contribuisce al voto finale per il 40%.
Inoltre viene data la possibilità a chi lo desidera di ottenere un incremento (sino a 5) del voto d'esame svolgendo uno dei progetti che sono
proposti al termine dei seminari che affiancano il corso.

Testi di riferimento

Appunti del docente reperibili sul minisito del corso.

Specifici argomenti possono essere approfonditi in:
E. Agliardi, R. Agliardi: "Mercati finanziari. Analisi stocastica delle opzioni", Mc Graw-Hill, 2001.
A. Pascucci: Calcolo stocastico per la finanza, Springer, 2007.
B. Oksendal: Stochastic Differential Equations, Springer, 2005.