ANALISI NUMERICA I

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2017/2018
Docente
VALERIA RUGGIERO
Crediti formativi
9
Periodo didattico
Primo Semestre
SSD
MAT/08

Obiettivi formativi

Il corso è in generale il primo corso di ambito numerico che gli studenti incontrano nel loro percorso formativo della laurea triennale in Matematica.

Scopo del corso è fornire agli studenti le conoscenze di base riguardanti i principali problemi dell'Analisi Numerica, i principali metodi per affrontarli e una conoscenza di base di uno strumento di calcolo dedicato come Matlab, per poter risolvere istanze concrete di tali problemi.

Le principali conoscenze fornite dal corso saranno:
- l'aritmetica finita del calcolatore e la complessità computazionale temporale e spaziale degli algoritmi;
- alcuni dei principali metodi per la risoluzione dei sistemi lineari e delle equazioni non lineari;
- alcuni metodi per l'interpolazione polinomiale;
- alcuni cenni ai metodi per l'approssimazione dei dati secondo il criterio dei minimi quadrati;
- alcuni elementi di base dell'ambiente di sviluppo MATLAB e delle funzioni di calcolo e visualizzazione grafica dei risultati che esso offre.

Le principali abilità che gli studenti dovranno acquisire (ossia le capacità di applicare le conoscenze) saranno:
- operare in aritmetica finita, sia a virgole fissa, che a virgola mobile, in diverse basi di numerazione;
- effettuare l'analisi dell'errore al prim'ordine di semplici algoritmi;
- stimare il condizionamento di semplici problemi e la stabilità di semplici algoritmi;
- risolvere sistemi di equazioni lineari sia in modo diretto che iterativo;
- affrontare equazioni non lineari;
- costruire interpolanti polinomiali;
determinare la miglior soluzione approssimata di un problema lineare mediante il criterio dei minimi quadrati;
- programmare script e funzioni Matlab per risolvere semplici problemi di esempio, visualizzando opportunamente i risultati.

Prerequisiti

Per seguire con profitto il corso, è necessario aver acquisito le seguenti conoscenze e abilità dai corsi di Geometria 1, Analisi Matematica 1 e Programmazione:
- conoscenze di base di algebra lineare;
- conoscenze di analisi matematica;
- conoscenza dei principi e delle strutture di base della programmazione strutturata.

Contenuti del corso

Il corso prevede 72 ore di lezione, delle quali circa 54 di lezioni teoriche ed il rimanente di esercitazioni di laboratorio con Matlab. La suddivisione oraria (indicata fra parentesi) può variare, anche sensibilmente, a seconda delle difficoltà incontrate dagli studenti nelle varie parti del programma.

Gli argomenti che verranno trattati nelle lezioni saranno i seguenti:
— Aritmetica del calcolatore (16):
  * rappresentazione dei numeri finiti e operazioni di macchina;
  * condizionamento di un problema;
  * stabilità di un algoritmo;
  * propagazione degli errori.
— Soluzione di sistemi lineari (20):
  * metodi diretti (LDU, Cholesky, QR);
  * alcuni metodi iterativi (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR).
— Soluzione di equazioni non lineari (8):
  * condizioni per la soluzione di equazioni non lineari;
  * principali metodi di ordine zero: bisezione, regula falsi, secanti;
  * metodi di ordine uno: metodo di Newton-Raphson (o delle tangenti).
— Interpolazione polinomiale e polinomiale a tratti (8):
  * condizioni di interpolazione polinomiale;
  * polinomio interpolante nella forma di Lagrange e nella forma di Newton;
  * interpolanti polinomiali a tratti: spline lineari.
— Approssimazione di dati (2):
  * condizioni per la soluzione di problemi lineari sovradeterminati;
  * soluzione approssimata secondo il criterio dei minimi quadrati.
— Esercitazioni di laboratorio in ambiente MATLAB (18).

Metodi didattici

Il corso prevede lezioni teoriche in aula su tutti gli argomenti sopra menzionati e lezioni di laboratorio informatico per la realizzazione degli algoritmi in ambiente Matlab e la loro prova su alcuni semplici problemi.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Obiettivo delle prove d’esame è la verifica di un adeguato livello di raggiungimento degli obiettivi formativi del corso, sia rispetto alle conoscenze, che rispetto alle abilità, includendo anche la parte di laboratorio in Matlab.
L'esame si compone di una prova scritta e di una prova orale. Una parte delle prove riguarda gli argomenti di laboratorio in Matlab.
Possono accedere alla prova orale coloro che ottengono nella prova scritta un punteggio maggiore o uguale a 15/30.
Il voto finale è dato dalla media aritmetica del voto della prova scritta e di quello della prova orale.
Il voto della prova scritta rimane valido per un anno solare dalla data della prova nella quale è stato ottenuto.

Testi di riferimento

[1] L.W. Johnson, R.D. Riess, "Numerical Analysis", second edition, Addison Wesley, 1982.
[2] V. Comincioli, "Analisi numerica", McGraw Hill, 1990.
[3] R.L. Burden, J.D. Faires, "Numerical Analysis", 10-th edition, Brooks/Cole Pub. Co., 2015.