GEOMETRIA ALGEBRICA

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2019/2020
Docente
PALTIN IONESCU
Crediti formativi
9
Periodo didattico
Secondo Semestre
SSD
MAT/03

Obiettivi formativi

Introduzione ai problemi, concetti e metodi della Geometria Algebrica classica. Alla fine del corso lo studente avra` un immagine chiara sulle basi della Geometria Algebrica e sara` in grado di proseguire il suo studio con testi piu` avanzati, verso il fronte della ricerca contemporanea.

Prerequisiti

Fatti generali del corso di Algebra: anelli, moduli, polinomi, estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti. Fatti generali del corso di Geometria:
spazi affini, spazi proiettivi, quadriche.
Il corso di Algebra Commutativa del primo semestre della Magistrale: localizzazione, proprieta` di finitezza, prodotto tensoriale, interi, ideali primi e massimali.

Contenuti del corso

12 ore: Insiemi algebrici affini. Il teorema della base di Hilbert. Corrispondenza tra ideali ed insiemi algebrici. Il teorema degli zeri di Hilbert.
Topologia di Zariski. Insiemi irriducibili. Decomposizione in componenti irriducibili.
Morfismi ed applicazioni razionali. Funzioni regolari. Funzioni razionali dominanti. Equivalenza birazionale.

9 ore: Teoria della dimensione; dimensione delle fibre.

9 ore: Spazio tangente di Zariski. Lo spazio tangente immerso e lo spazio tangente invariante. Calcolo differenziale algebrico. Punti regolari e punti singolari. Sistemi di parametri locali.

12 ore: Insiemi algebrici proiettivi e quasi proiettivi. Varieta` di Segre, Veronese. Intersezioni nello spazio proiettivo. Teorema fondamentale (chiusura dell'immagine). Applicazioni, teorema di Bertini e il principio del "counting constants".

9 ore: Divisori e sistemi lineari.
Forme differenziali e classe canonica, invarianti birazionali.

12 ore: Elementi della teoria delle curve algebriche. Teorema Riemann-Roch e applicazioni. Curve ellittiche, curve iperellittiche.

Metodi didattici

Lezione frontale con: esercizi, esempi, domande, dialogo permanente con la classe.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame orale, su una lista predefinita di domande. Una domanda sara` sulla teoria generale, un altra sulla teoria delle curve. Ogni parte in cui si articola la prova orale contribuisce in egual modo alla determinazione del voto finale.

Testi di riferimento

Ph. Ellia, Un'introduzione alla geometria algebrica, dispense del corso, Ferrara, 2005.

I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I, Springer 1994.