EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI LINEARI

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2017/2018
Docente
ANDREA CORLI
Crediti formativi
6
Periodo didattico
Primo Semestre
SSD
MAT/05

Obiettivi formativi

Lo scopo del corso è di fornire un'introduzione analitica alle equazioni alle derivate parziali lineari, rivolta in particolare all'equazione del trasporto, di Laplace, del calore e delle onde.

Le principali conoscenze acquisite saranno le seguenti.
Avere una prima introduzione alle equazioni alle derivate parziali e a qualcuno dei metodi impiegati per il loro studio.
Capire le differenze fondamentali che intercorrono tra equazioni ellittiche, paraboliche e iperboliche tramite lo studio delle tre equazioni tipo di cui sopra.
Comprensione dei risultati principali relativi alle equazioni di sopra.

Le principali abilità sviluppate saranno le seguenti:
Padroneggiare alcune tecniche classiche relative al calcolo differenziale e integrale in più variabili reali, con particolare riferimento all’integrazione su superfici, alle formule di Gauss-Green, alle medie di funzioni.
Interpretare fisicamente i risultati analitici ottenuti.
Risolvere esplicitamente alcuni tipi fondamentali di equazioni alle derivate parziali.


Le principali conoscenze acquisite saranno le seguenti.

Avere una prima introduzione alle equazioni alle derivate parziali e a qualcuno dei metodi impiegati per il loro studio.
Capire le differenza fondamentali che intercorrono tra equazioni ellittiche, paraboliche e iperboliche tramite lo studio delle tre equazioni tipo di cui sopra.
Acquisire una conoscenza di base sui risultati principali relativi alle equazioni di sopra.


Le principali abilità sviluppate saranno le seguenti:

Padroneggiare alcune tecniche classiche relative al calcolo differenziale e integrale in più variabili reali, con particolare riferimento all’integrazione su superfici, alle formule di Gauss-Green, alle medie di funzioni.
Interpretare fisicamente i risultati analitici ottenuti.
Risolvere esplicitamente alcuni tipi fondamentali di equazioni alle derivate parziali.

Prerequisiti

E’ assolutamente indispensabile una buona conoscenza del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili e i rudimenti dell’algebra lineare. La conoscenza dell’interpretazione fisica delle equazioni, trattata usualmente in un corso di “Equazioni alle derivate parziali della Fisica Matematica” o di “Meccanica dei Continui” può essere molto utile ma non indispensabile.

Contenuti del corso

Il corso prevede 48 ore di didattica, comprensive di esercitazioni. Gli argomenti principali del corso sono i seguenti.

Introduzione. Generalità sulle equazioni a derivate parziali. Alcuni risultati analitici: la funzione Gamma, misura di palle e sfere n-dimensionali, vari risultati sull'integrazione (6 ore).

L'equazione del trasporto. Il problema ai valori iniziali. Il problema non omogeneo. Interpretazione della soluzione (4 ore).

L'equazione di Laplace. Deduzione fisica dell'equazione. La soluzione fondamentale. L'equazione di Poisson. Formule di media. Il principio del massimo; unicità delle soluzioni. Regolarità delle soluzioni dell'equazione di Laplace. Stime sulle derivate delle soluzioni (P). Il teorema di Liouville. Rappresentazione delle soluzioni dell'equazione di Poisson. Analiticità delle soluzioni dell'equazione di Laplace. La disuguaglianza di Harnack. La funzione di Green: deduzione generale e proprietà. La funzione di Green per un semispazio; formula di Poisson. La funzione di Green per una palla (*); formula di Poisson. Metodi dell'energia. Unicità delle soluzioni per l'equazione di Poisson con dato al bordo. Il principio di Dirichlet (16 ore).

L'equazione del calore. Deduzione fisica dell'equazione. La soluzione fondamentale. Il problema ai valori iniziali. Il problema non omogeneo: il principio di Duhamel. Formula di media (*). Il principio del massimo; unicità delle soluzioni. Il principio del massimo per il problema ai valori iniziali; unicità delle soluzioni. Soluzioni non fisiche (*). Regolarità delle soluzioni dell'equazione del calore. Stime locali per le soluzioni (*); regolarità analitica e Gevrey (*). Metodi dell'energia: unicità delle soluzioni (12 ore).

L'equazione delle onde. Deduzione fisica dell'equazione. Il caso n=1: formula di d'Alembert. La formula di d'Alembert in un quadrante. Il caso n\ge2: il metodo di discesa. Le medie sferiche e l'equazione di Eulero-Poisson-Darboux. Il caso n=3: riduzione dell'equazione di Eulero-Poisson-Darboux all'equazione delle onde e soluzione. Il caso n=2 dedotto dal caso n=3. Il caso n dispari, n maggiore o uguale a 3: formula di rappresentazione della soluzione del problema ai valori iniziali (*); il teorema di esistenza e unicità (*). Il caso n pari, n maggiore o uguale a 2: formula di rappresentazione della soluzione del problema ai valori iniziali (*); il teorema di esistenza e unicità (*). Il problema non omogeneo. I casi speciali n=1 e n=3. Metodi dell'energia. Unicità delle soluzioni. Il dominio di dipendenza (10 ore).


Tutti gli enunciati del corso sono completati dalla loro dimostrazione, ad eccezione di quelli

dove appare (*); (P) indica che la dimostrazione è stata svolta solo in parte. Il corso è stato completato da vari esercizi, molti dei quali tratti dal libro di Evans.

Metodi didattici

Il corso è organizzato tramite lezioni in classe ed esercitazioni. Gli esercizi, di vario livello, proposti settimana per settimana, sono corretti singolarmente dal docente e discussi la settimana successiva con gli studenti. Gli studenti sono fortemente consigliati di impegnarsi in questa attività, sia per avere un controllo diretto del loro livello di apprendimento, sia per non avere una conoscenza meramente teorica del corso.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Come scritto sopra, una prima verifica dell’apprendimento avverrà tramite la risoluzione settimanale di semplici esercizi.

L'esame finale consiste di un colloquio orale sui contenuti del corso. Allo studente sarà richiesto:

(a) di scegliere almeno due risultati importanti per equazione e discuterne in dettaglio la dimostrazione con il docente (fino a 15 punti);

(b) una conoscenza generale dei contenuti teorici del corso (fino a 5);

(c) la capacità di collegare tra loro le diverse parti del programma (fino a 5);

(d) la risoluzione di semplici esercizi, sulla stregua di quelli già proposti a lezione (fino a 5).

Testi di riferimento

L.C. Evans: Partial differential equations, second edition. American Mathematical Society (2010).



Sono forniti anche appunti del docente.