CALCOLO DELLE VARIAZIONI

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2017/2018
Docente
MICHELE MIRANDA
Crediti formativi
6
Periodo didattico
Secondo Semestre
SSD
MAT/05

Obiettivi formativi

Obiettivo del corso e' l'apprendimento di alcuni strumenti fondamentali del Calcolo delle Variazioni. In particolare, si voglio presentare i metodi diretti del Calcolo della Variazioni ed approfondire quindi gli strumenti principali per la loro applicazione. Quindi, obiettivo preliminare sara' quello di studiare ed approfondire la nozione di compattezza in spazi funzionali infinito dimensionali, con lo studio delle topologie deboli in spazi funzionali opportuni. Infine, un ultimo obiettivo del corso e' quello dello studio delle equazioni differenziali, sia ordinarie (per il caso di calcolo delle variazioni uni-dimensionale, come ad esempio equazione della geodetica o della brachistocrona) che alle derivate parziali (per il caso multi-dimensionale, come ad esempio l'equazione di Laplace a equazioni ellittiche generali).

Ovviamente, e' chiaro che le abilita' che lo studente deve acquisire durante il corso e' il riconoscimento di problemi che possono essere trattati in modo variazionale, capendo se le soluzioni di dati problemi esistono e quali regolarita' bisogna aspettarsi da tali soluzioni. Con i metodi esposti durante il corso, lo studente dovra' quindi essere in grado di determinare le soluzioni di suddetti problemi, almeno in casi particolari.

Prerequisiti

Elementi di analisi funzionale; spazi di Hilbert, spazi di Banach, dualità', topologie deboli e teoremi di compattezza forte e debole. Teoria della misura base (anche solo quella di Lebesgue); spazi di Lebesgue e possibilmente spazi di Sobolev.

Contenuti del corso

Il corso e' inteso come introduzione ai metodi diretti del Calcolo delle Variazioni, con particolare attenzione alla determinazione dei minimi di funzionali definiti su Spazi di Sobolev e delle loro proprieta'.

Nella prima parte del corso si introducono le nozioni di semicontinuita' inferiore in spazi topologici ed in spazi metrizzabili; a fianco di tale nozione
viene introdotta la nozione di inviluppo semicontinuo inferiore. (6 ore)

Vengono quindi introdotti gli spazi di Sobolev con la descrizione delle loro proprieta' principali; in particolare vengono studiate le immersioni continue e compatte degli Spazi di Sobolev in alcuni spazi funzionali, quali gli spazi di funzioni continue e Hoelderiane oppure in spazi di Lebesgue opportuni.
(10 ore)

Finita questa parte introduttiva sugli spazi di Sobolev, vengono studiate
le proprieta' di semicontinuita' inferiore di Lagrangiane, mostrando come la nozione di covessita' sia condizione necessaria e sufficiente nel senso opportuno. Vengono quindi dimostrati teoremi di esistenza e unicita' per i minimi di Lagrangiane su spazi di Sobolev, mostrando come la loro
determinazione puo' essere effettuata mediante la ricerca delle soluzioni dell'equazione di Eulero-Lagrange associata. (10 ore)

Nell'ultima parte del corso si intende studiare le proprieta' di regolarita' dei minimi; un primo studio di regolarita' e' quello di tipo Sobolev, mentre un secondo tipo e' legato alla regolartia' Hoelderiana. Strumenti fondamentali in tale direzione sono dati dalle disuguaglianze di Caccioppoli e di Harnack.
(16 ore)

Metodi didattici

Il corso si svolge mediante lezioni principalmente su base teorica durante le quali si svilupperanno i principali strumenti; durante le lezioni si cerchera' di presentare anche la parte piu' pratica presentando alcune applicazioni della teoria presentata.

Modalità di verifica dell'apprendimento

La verifica delle conoscenze acquisite e' basato su un colloquio orale. La modalita' di tale colloquio e' a scelta dello studente tra le tre seguenti.

1. Esame orale classico in cui verranno effettuate tre domande, su tre argomenti differenti esposti durante il corso.
2. Presentazione di due medio-piccoli approfondimenti da concordare con il docente su due argomenti differenti toccati durante il corso.
3. Preparazione di un seminario su un argomento da concordare con il docente in cui lo studente presenta in modo approfondito un argomento,
dimostrando anche i risultati utilizzati nell'esposizione.

La caratteristica comune delle tre modalita' dovra' essere in ogni caso la durata del colloqui, che dovra' essere di circa 30-40 minuti.

Testi di riferimento

Testo di riferminento consigliato;

Brezis,
"Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations",
Universitext, Springer

Per approfondimenti, consigliamo i seguenti testi;

Buttazzo-Giaquinta-Hildebrandt,
"One-dimensional Variational Problems",
Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications

Giusti,
"Direct methods in the Calculus of Variations",
World Scientific Pub Co Inc