CALCOLO DELLE VARIAZIONI

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2019/2020
Docente
LORENZO BRASCO
Crediti formativi
6
Periodo didattico
Secondo Semestre
SSD
MAT/05

Obiettivi formativi

Il corso è inteso come un'introduzione al Calcolo delle Variazioni. Si partirà con una panoramica sui classici problemi variazionali unidimensionali, proseguendo con lo studio dei cosiddetti Metodi Diretti nel Calcolo delle Variazioni,
fino ad arrivare al Teorema di De Giorgi-Nash-Moser, che rappresenta l'inizio della moderna teoria della regolarità per le soluzioni dei problemi del Calcolo delle Variazioni. En passant, mostreremo come alcuni problemi squisitamente geometrici (es. il problema isoperimetrico) possono essere riformulati, affrontati e risolti, tramite gli strumenti analitici del Calcolo delle Variazioni.

Il primo obiettivo sarà comprendere il legame tra equazioni differenziali di tipo ellittico (come ad esempio l'equazione di Laplace e l'equazione delle superfici minime) e problemi di ottimizzazione convessa.
In seguito, affronteremo il problema di come mostrare l'esistenza di una soluzione, tramite una opportuna generalizzazione infinito-dimensionale del classico Teorema di Weierstrass. L'obiettivo finale sarà apprendere i primi rudimenti delle tecniche di regolarità necessarie per mostrare che le soluzioni trovate hanno le proprietà desiderate.

Al termine del corso, lo studente dovrà aver acquisito la capacità di riconoscere problemi che possono essere trattati in modo variazionale: in particolare, dovrà essere in grado di capire se le soluzioni di tali problemi esistono e quale regolarità bisogna aspettarsi dalle loro soluzioni.

Prerequisiti

Tutti i contenuti dei corsi di Analisi Matematica I e II. Misura e Integrale di Lebesgue. Spazi L^p.
Topologia debole in L^p e teoremi di compattezza forte e debole negli spazi L^p.

Contenuti del corso

Il corso e' inteso come introduzione ai metodi diretti del Calcolo delle Variazioni, con particolare attenzione alla determinazione dei minimi di funzionali definiti su spazi di funzioni derivabile in senso debole e delle loro proprietà di regolarità.

INTRODUZIONE (8 ore)

SPAZI DI SOBOLEV (10 ore)

METODI DIRETTI (10 ore)

TEORIA DELLA REGOLARITA' (14 ore)

Metodi didattici

Il corso si svolge mediante lezioni principalmente su base teorica durante le quali si svilupperanno i principali strumenti; durante le lezioni si cerchera' di presentare anche la parte più pratica presentando alcune applicazioni degli aspetti teorici.

Modalità di verifica dell'apprendimento

La verifica delle conoscenze acquisite è basata su un esame orale, in cui verranno effettuate 2 o 3 domande, su altrettanti argomenti esposti durante il corso. La prova ha la durata di un'ora circa.

Testi di riferimento

Saranno rese disponibili delle dispense (in inglese) redatte dal docente, almeno per quanto riguarda il capitolo introduttivo e la teoria della regolarità.

Testi di riferminento consigliato:

H. Brezis,
"Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations",
Universitext, Springer

E. Giusti, "Direct methods in the Calculus of Variations",
World Scientific Pub Co Inc

Per approfondimenti, consigliamo i seguenti testi:

B. Dacorogna, "Introduction to the Calculus of Variations"

G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt, "One dimensional variational problems"