ANALISI FUNZIONALE
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2015/2016
- Docente
- FRANCESCA AGNESE PRINARI
- Crediti formativi
- 9
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Obiettivo del corso è fornire agli studenti gli strumenti dell'Analisi funzionale per essere in grado di formulare problemi (come quelli di esistenza di minimo) in opportuni spazi funzionali e di usare convergenze rispetto opportune topologie per la loro risoluzione. A tal scopo nel corso si presentano le nozioni di base, i teoremi e le tecniche principali della teoria degli operatori lineari e continui, degli spazi di Banach (con lo studio delle proprieta' che caratterizzano gli spazi riflessivi) e degli spazi di Hilbert con applicazione allo studio delle proprieta' degli spazi L^p e delle loro topologie deboli. In particolare al termine del corso lo studente conoscera' le versioni analitiche e geometriche del Teorema di Hahn-Banach, il Lemma di Baire, il Teorema di Banach-Steinhaus, i teoremi
della Mappa aperta e del grafico chiuso, i teoremi di Banach-Alouglu-Bourbaki, di Kakutani, il teorema di rappresentazione di Rietz.
Al termine del corso lo studente sara' in grado di
-confrontare uno spazio di dimensione finita con uno di dimensione infinita discutendone le differenze (a livello di completezza, compattezza, continuita' delle applicazioni lineari, esistenza di una base...)
-applicare le nozioni topologiche di continuita', convergenza, compattezza, separabilita' in spazi topologici metrici e non;
-studiare la continuita' e calcolare la norma di un operatore lineare e continuo su un spazio infinito dimensionale;
-stabilire l'uniforme limitatezza di un sottoinsieme di uno spazio di Banach;
-discutere le proprietà di compattezza (sequenziale e topologica) rispetto la topologia debole di un sottoinsieme convesso di uno spazio riflessivo;
-discutere le proprietà di compattezza (sequenziale e topologica) rispetto la topologia debole* di un sottoinsieme limitato di uno spazio riflessivo;
-discutere l'esistenza del limite debole (o debole*) di una successione;
-usare la topologia debole (e debole*) negli spazi L^p (in L^\infty);
-discutere quali ipotesi sullo spazio X e sulla funzione f garantiscono esistenza di un punto di minimo di f su X;
-tradurre in linguaggio matematico l'espressione ''nel senso delle distribuzioni'';
-accostarsi allo studio delle proprieta' di ulteriori spazi funzionali come gli spazi BV e gli spazi di Sobolev
-applicare il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni per studiare problemi di minimo. Prerequisiti
- I prerequisiti richiesti sono elementi di topologia insieme a solide basi di teoria della misura e dell'integrazione.
Contenuti del corso
- 1) Richiami di topologia: base e sistema fondamentale di intorni. Spazi separati, spazi N_1, spazi N_2. Spazi separabili. Spazi compatti e sequenzialmente compatti. Compattezza in spazi metrici. Costruzione di una topologia su un insieme X. Topologia prodotto.(5 ore)
(2) Seminorme e norme. Norme equivalenti. Topologia di uno spazio normato e convergenza. Spazi vettoriali di dimensione finita: equivalenza tra norme e completezza rispetto a qualunque norma, teorema di Bolzano-Weistrass e compattezza della palla chiusa. Esempio di norme su spazi infinito dimensionali. Esempio di norme non equivalenti. Teorema di Riesz. Criterio di Weirstrass per serie.(5 ore)
(3) Esempi di spazi normati:
(a) spazi di successioni c_0, c_00, spazi l^p, completezza);
(b) spazi di funzioni: gli spazi C^k. Teorema di Ascoli Arzela. (5 ore)
(4) Operatori lineari tra spazi normati: caratterizzazione della loro continuita’. Norma di
un operatore. Operatore trasposto. Completezza dello spazio degli operatori L(X,Y). Duali degli spazi l^p. (5 ore)
(5) Lemma di Zorn, basi di Hamel. Teorema di Hahn-Banach (forma analitica reale). Costruzione di funzionali lineari e non continui in spazi di dimensione infinita. Estensione di operatori lineari, reali e continui definiti su sottospazi di spazi normati. Iperpiani chiusi. Forme geometriche del teorema di Hahn Banach: separazione di insiemi convessi. (8 ore)
(6) Lemma di Baire e forme equivalenti. Spazi di prima e seconda categoria. Teorema di Banach Steinhaus. Insiemi debolmente chiusi. Teorema dell’applicazione aperta e suoi corollari. Teorema del grafico chiuso. (8 ore)
(7) Topologia debole e topologia debole *. Convergenza debole e debole*. Chiusura di un insieme convesso. Teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki. Spazi riflessivi. Teorema di Kakutani. Spazi uniformemente convessi. (8 ore)
(8) Semicontinuita’ e Teoremi di esistenza di punti di minimo. (2 ore)
(9) Gli spazi di Hilbert. Prodotto interno. Identita’ del parallelelogramma. Teorema
delle proiezioni su un convesso. Riflessivita’ degli spazi di Hilbert. Teorema di Rietz-Frechet. (4 ore)
(10) Spazi L^p. Disuguaglianza di Holder e di Minkoskii. Completezza. Uniforme convessità e riflessività nel caso 1 < p < +8 . Separabilità nel caso 1 = p < +8. Duali degli spazi L^p.Teoremi di rappresentazione di Riesz. Caratterizzazione delle convergenza debole e debole*. (6 ore)
(11) Cenni di teoria delle distribuzioni: definizione di distribuzione, ordine di una distribuzione, derivata distribuzionale. Esempi. Cenni sugli spazi di Sobolev (7 ore). Metodi didattici
- Il corso viene svolto attraverso lezioni frontali ed esercitazioni. La presentazione dei teoremi principali è accompagnata dalla loro dimostrazione, dalla discussione di esempi, applicazioni e dallo svolgimento di esercizi che ne richiedono l'utilizzo. Vengono proposti esercizi da svolgere autonomamente e la cui risoluzione viene discussa successivamente alla lavagna. Vengono messi a disposizione degli studenti sul sito del corso i compiti assegnati nei precedenti esami scritti insieme alle loro risoluzioni.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame si compone di 2 prove
-un esame scritto in cui viene richiesta la risoluzione di alcuni esercizi. Esso si ritiene superato se si raggiunge il voto di 15 su 30;
- un esame orale che richiede la dimostrazione di alcuni dei principali teoremi svolti nel programma.
In sostituzione dell'esame scritto sono possibili anche 2 prove scritte parziali (la prima viene svolta a meta' del corso e la seconda al termine).
Il voto finale viene calcolato attraverso la formula: se S e' il voto dello scritto (da 0 a 31) e O e' il voto dell'orale (da 0 a 31) allora posto m=minimo {S,O} e M=massimo {S,O}, il voto finale e'
(2m+3M):5, approssimato per eccesso.
Le prove scritte sono cosi' distribuite:
un esame parziale a meta' corso;
2 scritti (di tipo parziale e\o totali a scelta dello studente) tra giugno e luglio;
1 scritto totale a settembre;
3 scritti totali tra gennaio-febbraio.
Se richiesto da più studenti, è possibile fissare altri due appelli straordinari in altri periodi dell'anno.
Dopo il superamento dello scritto, si hanno 6 mesi di tempo per completare l'esame con la prova orale.
Testi di riferimento
- -Appunti del corso forniti agli studenti durante il corso
Argomenti specifici possono essere approfonditi sui seguenti testi:
-W.Rudin "Real and complex analysis", McGraw-Hill (1986)
-H. Brezis ''Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Dierential Equations'' (Springer)
-G. Gilardi ''Analisi 3'' Mc Graw Hill
-H. Brezis "Analisi funzionale", Liguori editore (1990)
