ANALISI FUNZIONALE

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2018/2019
Docente
FRANCESCA AGNESE PRINARI
Crediti formativi
9
Periodo didattico
Primo Semestre
SSD
MAT/05

Obiettivi formativi

Obiettivo del corso è fornire agli studenti gli strumenti dell'Analisi funzionale per essere in grado di formulare problemi (come quelli di esistenza di minimo) in opportuni spazi funzionali e di usare convergenze rispetto opportune topologie per la loro risoluzione. A tal scopo nel corso si presentano le nozioni di base, i teoremi e le tecniche principali della teoria degli operatori lineari e continui, degli spazi di Banach (con lo studio delle proprieta' che caratterizzano gli spazi riflessivi) e degli spazi di Hilbert con applicazione allo studio delle proprieta' degli spazi L^p e delle loro topologie deboli. In particolare al termine del corso lo studente conoscera' le versioni analitiche e geometriche del Teorema di Hahn-Banach, il Lemma di Baire, il Teorema di Banach-Steinhaus, i teoremi
della Mappa aperta e del grafico chiuso, i teoremi di Banach-Alouglu-Bourbaki, di Kakutani, il teorema di rappresentazione di Rietz.

Al termine del corso lo studente sara' in grado di
-confrontare uno spazio di dimensione finita con uno di dimensione infinita discutendone le differenze (a livello di completezza, compattezza, continuita' delle applicazioni lineari, esistenza di una base...)
-applicare le nozioni topologiche di continuita', convergenza, compattezza, separabilita' in spazi topologici metrici e non;
-studiare la continuita' e calcolare la norma di un operatore lineare e continuo su un spazio infinito dimensionale;
-stabilire l'uniforme limitatezza di un sottoinsieme di uno spazio di Banach;
-discutere le proprietà di compattezza (sequenziale e topologica) rispetto la topologia debole di un sottoinsieme convesso di uno spazio riflessivo;
-discutere le proprietà di compattezza (sequenziale e topologica) rispetto la topologia debole* di un sottoinsieme limitato di uno spazio riflessivo;
-discutere l'esistenza del limite debole (o debole*) di una successione;
-usare la topologia debole (e debole*) negli spazi L^p (in L^\infty);
-discutere quali ipotesi sullo spazio X e sulla funzione f garantiscono esistenza di un punto di minimo di f su X;
-tradurre in linguaggio matematico l'espressione ''nel senso delle distribuzioni'';
-accostarsi allo studio delle proprieta' di ulteriori spazi funzionali come gli spazi BV e gli spazi di Sobolev
-applicare il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni per studiare problemi di minimo.

Prerequisiti

I prerequisiti richiesti sono elementi di topologia insieme a solide basi di teoria della misura e dell'integrazione.

Contenuti del corso

1) Richiami di topologia: base e sistema fondamentale di intorni. Spazi separati, spazi N_1, spazi N_2. Spazi separabili. Spazi compatti e sequenzialmente compatti. Compattezza in spazi metrici. Funzioni continue e semicontinue. Teoremi di esistenza di minimo. Costruzione di una topologia su un insieme X. Topologia prodotto.
(5 ore)
(2) Seminorme e norme. Topologia di uno spazio normato e convergenza. Norme equivalenti. Richiami sugli spazi vettoriali di dimensione finita: equivalenza tra norme e completezza rispetto a qualunque norma, teorema di Bolzano-Weistrass e compattezza della palla chiusa. Teorema di Riesz.
(3 ore)
(3) Spazi di Banach. Esempio di norme su spazi infinito dimensionali. Esempio di norme non equivalenti.Criterio di Weirstrass per serie. Esempi di spazi normati di dimensione infinita:
(a) spazi di successioni c_0, c_00, spazi l^p;
(b) spazi di funzioni: gli spazi C^k.
(c) gli spazi L^p (richiami su disuguaglianza di Holder e Minkoskii)
(3 ore)
(4) Richiami sugli operatori lineari tra spazi normati: caratterizzazione della loro continuita’. Norma di un operatore. Operatore trasposto. Completezza dello spazio degli operatori L(X,Y). Duali degli spazi l^p.
(4 ore)
(5) Lemma di Zorn, basi di Hamel. Teorema di Hahn-Banach (forma analitica reale). Costruzione di funzionali lineari e non continui in spazi di dimensione infinita. Estensione di operatori lineari, reali e continui definiti su sottospazi di spazi normati. Iperpiani chiusi. Forme geometriche del teorema di Hahn Banach: separazione di insiemi convessi.
(8 ore)
(6) Lemma di Baire e forme equivalenti. Spazi di prima e seconda categoria. Teorema di Banach Steinhaus. Insiemi debolmente chiusi. Teorema dell’applicazione aperta e suoi corollari. Teorema del grafico chiuso.
(7 ore)
(7) Topologia debole e topologia debole *. Convergenza debole e debole*. Chiusura di un insieme convesso. Teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki. Spazi riflessivi. Teorema di Kakutani. Spazi separabili.Spazi uniformemente convessi.
(8 ore)
(8) Riflessivita’ degli spazi di Hilbert. Teorema delle proiezioni su un convesso come applicazione del teorema di esistenza di punto di minimo. Teorema di Rietz-Frechet. Teorema di Lax-Milgram (senza dimostrazione).
(3 ore)
(9) Spazi L^p: uniforme convessità e riflessività nel caso 1 < p < +\infty . Separabilità nel caso 1 = p < +\infty. Duali degli spazi L^p. Teoremi di rappresentazione di Riesz. Caratterizzazione delle convergenza debole e debole*. Definizione di operatori compatto.
(6 ore)
(10) Introduzione agli spazi di Sobolev: definizione e principali proprieta' (completezza per ogni $1\leq p\leq +\infty$, riflessivita' se $11$. Disuguaglianza di Poincare'. Definizione di funzione armonica in senso debole e di soluzione debole dell'equazione di Poisson. Metodo degli spazi di Hilbert per la dimostrazione dell' esistenza di una soluzione debole per il problema di Diriclet associato all' equazione di Poisson in $W^1,2_0(\Omega)$ (16 ore).

Metodi didattici

Il corso viene svolto attraverso lezioni frontali ed esercitazioni. La presentazione dei teoremi principali è accompagnata dalla loro dimostrazione, dalla discussione di esempi, applicazioni e dallo svolgimento di esercizi che ne richiedono l'utilizzo. Vengono proposti esercizi da svolgere autonomamente e la cui risoluzione viene discussa successivamente alla lavagna. Vengono messi a disposizione degli studenti sul sito del corso i compiti assegnati nei precedenti esami scritti insieme alle loro risoluzioni.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame si compone di 2 prove
-un esame scritto in cui viene richiesta la risoluzione di alcuni esercizi. Esso si ritiene superato se si raggiunge il voto di 16 su 31;
- un esame orale che richiede la dimostrazione di alcuni dei principali teoremi svolti nel programma.
In sostituzione dell'esame scritto sono possibili anche 2 prove scritte parziali che devono essere superate (entrambe) con il voto di almeno 16/31 (la prima viene svolta a meta' del corso e la seconda al termine).
Il voto finale viene calcolato attraverso la formula: se S e' il voto dello scritto (da 0 a 31) e O e' il voto dell'orale (da 0 a 31) allora posto m=minimo {S,O} e M=massimo {S,O}, il voto finale e' dato dalla parte intera di V= (2m+3M):5, arrotondato al numero intero piu' vicino.
Le prove scritte sono cosi' distribuite:
un esame parziale a meta' corso;
3 scritti (di tipo parziale e\o totali a scelta dello studente) tra gennaio e febbraio;
2 scritti totali tra giugno-luglio;
1 scritto totale a settembre.
Dopo il superamento dell’esame scritto, si ha tempo entro il primo appello orale della sessione successiva per completare l'esame con la prova orale.
Se richiesto da più studenti, è possibile fissare altri due appelli straordinari: uno tra marzo e maggio, l’altro tra ottobre e dicembre.
In tal caso, l’orale va sostenuto entro due settimane dall’esame scritto.










Testi di riferimento

-Appunti del corso forniti agli studenti durante il corso

Argomenti specifici possono essere approfonditi sui seguenti testi:
-W.Rudin "Real and complex analysis", McGraw-Hill (1986)
-H. Brezis ''Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Dierential Equations'' (Springer)
-G. Gilardi ''Analisi 3'' Mc Graw Hill
-H. Brezis "Analisi funzionale", Liguori editore (1990)