ALGEBRA NON COMMUTATIVA

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2019/2020
Docente
CLAUDIA MENINI
Crediti formativi
6
Periodo didattico
Secondo Semestre
SSD
MAT/02

Obiettivi formativi

Il corso fornisce alcune basi della Teoria delle algebre di Hopf sviluppandone alcune tematiche.
Innanzitutto, partendo dal concetto di algebra,
viene introdotto e sviluppato il concetto di coalgebra: vengono forniti numerosi esempi, viene data e praticata la notazione di Sweedler, vengono introdotte ed esaminate le categorie dei comoduli e dei moduli razionali. Viene introdotta e analizzata la nozione di algebra di Hopf di cui vengono illustrati esempi significativi.
Vengono sviluppate le seguenti tematiche:
integrali, semisemplicità, cosemisemplicità e il coradicale.

Al termine del corso lo studente avrà appreso il concetto di algebra di Hopf e ne avrà sperimentato alcune tecniche specifiche. Questo gli permetterà di affrontare autonomamente ulteriori fondamentali argomenti relativi al concetto di algebra di Hopf.





Prerequisiti

Conoscense di base di Teoria dei Moduli e delle Categorie.

Contenuti del corso

Il corso prevede 42 ore di lezione in frontale.

Definizione di algebre e coalgebre. Esempi di coalgebre. Coassociatività generalizzata e altre formule su Delta_n. La notazione di Sweedler. Il prodotto tensoriale di due coalgebre. La coalgebra opposta. Sottocoalgebre, coideali destri, coideali sinistri, coideali. Il teorema fondamentale della coalgebra quoziente. Alcuni risultati sugli spazi vettoriali. La coalgebra duale di un'algebra di dimensione finita. L’algebra Hom(C,A) dove C è una coalgebra e A è un'algebra. Esempi fra cui il duale C* di una coalgebra C. Gli elementi grouplike del duale di un’algebra A sono i morfismi di algebra da A in K. Gli elementi grouplike sono linearmente indipendenti. (12 ore)

Comoduli e C*-moduli razionali. Proprietà della categoria dei moduli razionali. Funtore aggiunto destro del funtore dimenticante dalla categoria dei comoduli alla categoria degli spazi vettoriali.C è cogeneratore iniettivo della categoria dei comoduli. (6 ore)

Definizioni equivalenti di bialgebra. Definizione di algebra di Hopf.
Proprietà dell’antipode. Esercizi: pratica della notazione di Sweedler.
Alcune proprietà delle algebre di Hopf. Il duale di un'algebra di Hopf di dimensione finita. Hopf ideali. Bialgebre e algebre di Hopf quoziente e loro proprietà universale.
Esempi di algebre di Hopf: l'algebra di gruppo kG e, se G è finito, il suo duale. L' algebra Tensoriale, l'Algebra Simmetrica e l'Inviluppante. (8 ore)

Moduli di Hopf. Equivalenza fra la categoria dei moduli di Hopf su un'algebra di Hopf e la categoria degli spazi vettoriali su k. (3 ore)

Integrali in un'algebra di Hopf e nel suo duale e loro proprietà. Lo spazio degli integrali per le algebre di Hopf di dimensione finita. Algebre di Hopf semisemplici e cosemisemplici. Il Teorema di Maschke e il Teorema di Maschke duale. Ogni algebra di Hopf di semisemplice è di dimensione finita. Il duale di un'algebra di Hopf semisemplice (rispettivamente cosemisemplice di dimensione finita) è cosempisemplice (semisemplice). L'algebra di gruppo è sempre cosemisemplice. Il Teorema di Maschke classico. (6 ore)

Il coradicale. Introduzione di risultati utili. Coalgebre semplici e comoduli semplici.
Corrispondenza fra sottocoalgebre di coalgebra e ideali del suo duale. Caratterizzazione del coradicale. Coalgebre puntate, connesse e irriducibili e loro relazioni. Alcuni risultati sui moduli semisemplici e le algebre semplici. Il Lemma di Schur. Densità di un anello dentro l'anello dei biendomorfismi di un suo modulo semplice.
Ogni anello semplice artiniano a sinistra è isomorfo ad un anello di matrici finite su un anello con divisione. Il radicale di Jacobson di un'algebra di dimensione finita è intersezione degli ideali bilateri massimali.
Il coradicale di una coalgebra C coincide con lo zoccolo della coalgebra riguardata come C*-modulo sinistro. Relazione fra il coradicale di una coalgebra C di dimensione finita e il radicale di Jacobson di C*. Proprietà del coradicale del prodotto tensoriale di due coalgebre. (7 ore).





Metodi didattici

Tutti gli argomenti del corso vengono affrontati in modo approfondito durante le lezioni. In particolare vengono fornite dimostrazioni dettagliate di tutti i risultati presentati. A riscontro delle tematiche affrontate, vengono forniti esempi ed esercizi. Viene richiesto agli studenti di partecipare attivamente alle lezioni anche mediante la soluzione di esercizi proposti.


Modalità di verifica dell'apprendimento

Lo scopo dell'esame è quello di verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati. La verifica dell'apprendimento è basata su un esame orale costituito da un colloquio su tutte le tematiche trattate nel corso. La prima domanda è su un argomento scelto dallo studente che deve essere esposto in maniera ampia e dettagliata. Le successive domande sulla restante parte del programma sono volte a verificare la comprensione delle nozioni di base e la capacità di collegare e confrontare aspetti diversi trattati durante il corso. Per tale motivo non sono richiesti dettagli dimostrativi.
La risposta alla prima domanda contribuisce al voto finale per il 40%.
In accordo con gli studenti, l'orale può anche consistere in un seminario tenuto dall'esaminando su un tema connesso al corso ma non sviluppato nel corso stesso.
Lo studente che ha esposto una argomento in aula con esito positivo viene esentato dalla prima domanda ed al voto finale contribuisce per il 60% la valutazione data dal docente al suo intervento.


Testi di riferimento

Appunti del docente reperibili sul sito. Stenström, Rings of quotients, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 217.
M. Sweedler, Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series W. A. Benjamin, Inc., New York 1969.
S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 82. A.M.S.Providence, RI,1993.
S. Dascalescu, C. Nastasescu, S. Raianu, Hopf algebras. An introduction. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 235. Marcel Dekker, Inc., New York, 2001.