ALGEBRA COMMUTATIVA E GEOMETRIA ALGEBRICA

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2018/2019
Docente
ALBERTO CALABRI
Crediti formativi
9
Periodo didattico
Primo Semestre
SSD
MAT/03

Obiettivi formativi

Conoscenza dei concetti fondamentali di algebra commutativa, quali anelli commutativi, ideali primi e massimali, localizzazione, moduli, noetherianità, e dei primi concetti di geometria algebrica, come varietà algebriche affini, anello di coordinate, topologia di Zariski.

Alla fine del corso lo studente sarà in grado di riconoscere anelli commutativi e moduli, le loro proprietà, e sarà in grado di costruire nuovi anelli e moduli usando il prodotto tensoriale, la localizzazione e più in generale le frazioni.

Prerequisiti

Algebra (primo anno della laurea triennale in Matematica) e concetti elementari di topologia.

Contenuti del corso

Anelli e omomomorfismi di anelli. Ideali, anelli quozienti. Divisori dello zero, elementi nilpotenti, elementi invertibili. Ideali primi e ideali massimali. Il nilradicale e il radicale di Jacobson. Operazioni sugli ideali. Estensione e contrazione di ideali (12 ore).

Varietà algebriche affini. Anello delle coordinate di una varietà. Topologia di Zariski (4 ore).

Moduli e omomorfismi di moduli. Sottomoduli e moduli quoziente. Operazioni sui sottomoduli. Somma diretta e prodotto diretto. Moduli finitamente generati. Successioni esatte. Prodotto tensoriale di moduli. Restrizione ed estensione degli scalari. Proprietà di esattezza del prodotto tensoriale. Algebre (12 ore).

Anelli e moduli di frazioni. Proprietà locali. Ideali estesi e contratti negli anelli di frazioni (6 ore).

Teorema della base di Hilbert. Teorema degli zeri di Hilbert e applicazioni (6 ore).

Decomposizione primaria di ideali. Condizioni sulle catene. Anelli noetheriani. Anelli artiniani (12 ore).

Dipendenza integrale. Il teorema del "going-up". Domini di integrità integralmente chiusi. Il teorema del "going-down". Anelli di valutazione discreta. Domini di Dedekind (6 ore).

Anelli e moduli graduati. Anello graduato associato.
Teoria della dimensione. Funzione e polinomio di Hilbert (5 ore).

Metodi didattici

Lezioni frontali alla lavagna.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame orale che consiste in tre domande su aspetti generali del corso: per ognuna delle domande è richiesta una dimostrazione con tutti i dettagli.

La risposta ad una domanda viene valutata con un punteggio da 0 a 10, a seconda della chiarezza e precisione della risposta, e il voto finale è la somma dei tre punteggi ottenuti.

Per superare l'esame occorre ottenere almeno 18.

Testi di riferimento

M.F. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduzione all'algebra commutativa, Collana di matematica vol. 16, Feltrinelli, 1981.