GEOMETRIA III
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2022/2023
- Docente
- CINZIA BISI
- Crediti formativi
- 10
- Periodo didattico
- Annualità Singola
- SSD
- MAT/03
Obiettivi formativi
- PARTE I: l corso rappresenta un primo insegnamento della teoria delle funzioni in Analisi complessa e delle Superficie di Riemann; l'obiettivo principale del corso consiste nel far acquisire agli studenti i concetti di base e i risultati fondamentali della teoria delle funzioni di una variabile complessa.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
caratteristiche fondamentali delle funzioni complesse; conoscenza delle funzioni polidrome;
conoscenze di base per affrontare lo studio delle funzioni di variabile complessa, la loro espressione come somma di serie di funzioni, l'integrazione complessa;
conoscenze relative alle proprietà delle funzioni olomorfe e loro sviluppo in serie di potenze. Cenni di Superficie di Riemann.
Le principali abilità saranno:
analizzare il comportamento delle funzioni di variabile complessa; rendere univoche le funzioni polidrome;
studiare le funzioni complesse mettendone in evidenza le proprietà analitiche, algebriche e gli aspetti geometrici delle mappe da esse definite;
utilizzare le proprietà delle funzioni complesse per risolvere problemi nel campo reale.
PARTE II: proseguire lo studio di metodi algebrici in geometria. Prerequisiti
- PARTE I: E' necessario aver acquisito ed assimilato le nozioni riguardanti il campo dei numeri reali e dei numeri complessi, le proprietà delle funzioni reali di una e più variabili reali, sviluppate nei corsi di analisi del primo biennio del corso di laurea in Matematica. Si assumono conosciuti i concetti e le proposizioni fondamentali dell'algebra astratta e della moderna geometria. E' necessario aver acquisito le principale nozioni di topologia.
PARTE II: i seguenti corsi - Geometria 1, Algebra, Geometria 2. Contenuti del corso
- Il corso è strutturato in due moduli di 50 ore il primo e di 30 ore il secondo.
PARTE I di analisi complessa:
Generalità sulle funzioni di variabile complessa; funzioni elementari; mappe conformi; funzioni olomorfe; equazioni di Cauchy-Riemann (5 ore) ; successioni e serie di funzioni complesse; modi di convergenza; serie di potenze; funzioni trascendenti elementari; integrazione nel campo complesso (6 ore); teorema di Cauchy per le regioni stellate e formula integrale per il disco; propietà delle funzioni olomorfe: sviluppabilità in serie di potenze, (5 ore) teorema di Liouville, teorema di identità di Riemann, teorema di prolungamento di Riemann (4 ore) , teorema della mappa aperta; singolarità isolate delle funzioni olomorfe; funzioni meromorfe ; teorema di Cauchy per la corona (5 ore), teorema di Laurent e sviluppo in serie di Laurent delle funzioni olomorfe in una corona; indice di un cammino rispetto a un punto (5 ore); regioni omologicamente semplicemente connesse; teorema di Cauchy generale ; calcolo dei residui: teorema dei residui; applicazione di tale teorema alla risoluzione di integrali reali (10 ore).
Cenni alle Superficie di Riemann (10 ore)
PARTE II:
Complementi di algebra lineare: Il teorema di Cayley-Hamilton. Il polinomio minimo. Sotto spazi caratteristici, il 'Killer lemma'. Forma canonica di Frobenius ed applicazioni. Forma di Jordan. (20 circa)
Geometria algebrica: curve algebriche piane, prime proprietà. Singolarità delle curve piane. Sistemi lineari. (10 ore circa) Metodi didattici
- PARTE I: Lezioni su tutti gli argomenti del corso con esposizione scritta della parte teorica corredata di numerosi esercizi svolti quali esempi esplicativi della teoria trattata.
PARTE II: Il corso sarà una specie di 'reading course'. All'inizio del corso saranno distribuiti appunti molto dettagliati sulla parte teorica e contenenti esercizi. Lo studente dovrà studiare preventivamente a casa la teoria e risolvere gli esercizi assegnati. A lezione il docente riprenderà velocemente la parte teorica rispondendo ad eventuali domande di chiarimento. La maggior parte del tempo sarà dedicata agli esercizi: gli studenti dovranno esporre a turno le loro soluzioni che saranno discusse da tutti.
Le lezioni di entrambi i moduli saranno svolte in presenza o a distanza a seconda delle condizioni della pandemia (Covid 19). Modalità di verifica dell'apprendimento
- PARTE I: al termine sarà proposto uno scritto con esercizi da svolgere in modalità telematica. Lo svolgimento dovrà essere scansionato e trasmesso via mail alla docente per la valutazione.
PARTE II: Esame Scritto. La partecipazione alla correzione degli esercizi durante il corso rappresenterà una parte del voto finale.
Se la pandemia (Covid 19) lo permetterà gli esami potrebbero essere svolti in presenza.
Il voto finale sul libretto sarà la media aritmetica dei due voti. Testi di riferimento
- PARTE I:
Argomenti specifici possono essere approfonditi nei seguenti testi
A.Del Centina - Teoria delle funzioni di una variabile complessa - Aracne editrice
M.O.Gonzalez - Classical complex Analysis - Dekker
Beardon - A primer on Riemann Surfaces
Foster-Lectures on Riemannian Surfaces
PARTE II:
Appunti del docente
