FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2019/2020
- Docente
- CINZIA BISI
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/03
Obiettivi formativi
- Il corso rappresenta un primo insegnamento della teoria delle funzioni in Analisi complessa; l'obiettivo principale del corso consiste nel far acquisire agli studenti i concetti di base e i risultati fondamentali della teoria delle funzioni di una variabile complessa.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
caratteristiche fondamentali delle funzioni complesse; conoscenza delle funzioni polidrome;
conoscenze di base per affrontare lo studio delle funzioni di variabile complessa, la loro espressione come somma di serie di funzioni, l'integrazione complessa;
conoscenze relative alle proprietà delle funzioni olomorfe e loro sviluppo in serie di potenze.
Le principali abilità saranno:
analizzare il comportamento delle funzioni di variabile complessa; rendere univoche le funzioni polidrome;
studiare le funzioni complesse mettendone in evidenza le proprietà analitiche, algebriche e gli aspetti geometrici delle mappe da esse definite;
utilizzare le proprietà delle funzioni complesse per risolvere problemi nel campo reale.
Prerequisiti
- E' necessario aver acquisito ed assimilato le nozioni riguardanti il campo dei numeri reali e dei numeri complessi, le proprietà delle funzioni reali di una e più variabili reali, sviluppate nei corsi di analisi del primo biennio del corso di laurea in Matematica. Si assumono conosciuti i concetti e le proposizioni fondamentali dell'algebra astratta e della moderna geometria. E' necessario aver acquisito le principale nozioni di topologia.
Contenuti del corso
- Il corso prevede 48 ore di didattica, tra lezioni ed esercitazioni, sui seguenti argomenti:
Generalità sulle funzioni di variabile complessa; funzioni elementari; mappe conformi; funzioni olomorfe; equazioni di Cauchy-Riemann; successioni e serie di funzioni complesse; modi di convergenza; serie di potenze; funzioni trascendenti elementari; integrazione nel campo complesso; teorema di Cauchy per le regioni stellate e formula integrale per il disco; propietà delle funzioni olomorfe: sviluppabilità in serie di potenze, teorema di Liouville, teorema di identità di Riemann, teorema di prolungamento di Riemann, teorema della mappa aperta; singolarità isolate delle funzioni olomorfe; funzioni meromorfe; teorema di Cauchy per la corona, teorema di Laurent e sviluppo in serie di Laurent delle funzioni olomorfe in uma corona; indice di un cammino rispetto a un punto; regioni omologicamente semplicemente connesse; teorema di Cauchy generale; calcolo dei residui: teorema dei residui; applicazione di tale teorema alla risoluzione di integrali reali. Metodi didattici
- Lezioni in aula su tutti gli argomenti del corso con esposizione scritta della parte teorica corredata di numerosi esercizi svolti quali esempi esplicativi della teoria trattata.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'obiettivo della prova d'esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati.
L'esame è diviso in due parti che hanno luogo in giorni diversi:
una prova scritta con soluzione di esercizi numerici su tutti gli argomenti trattati nel corso. La prova ha lo scopo di valutare lo studio della materia e la comprensione degli argomenti di base ed ha carattere di selezione in quanto lo studente che non mostri una sufficiente conoscenza degli argomenti non è ammesso alla prova orale. Il tempo previsto per la prova scritta è di 1 ora e 30 minuti. Per superare la prova è necessario acquisire almeno 18 punti su 30; è consentito consultare solo gli appunti riportati personalmente a mano su un foglio A4 che può contenere tutte le nozioni ritenute utili per il superamento della prova;
una prova orale nella quale non sarà valutata tanto l'abilità nel “ripetere “ qualche argomento trattato a lezione, quanto la comprensione dei concetti di base e dei risultati principali e la capacità di collegare e confrontare aspetti diversi trattati durante il corso; sono richieste dimostrazioni di alcuni dei teoremi principali;
la valutazione del voto finale terrà conto del voto dello scritto e dell'esposizione orale che deve dimostrare una sufficiente conoscenza degli argomenti: se questa non è valutata sufficiente è possibile ripetere solo la prova orale in un successivo appello;
Per superare l'esame è necessario acquisire un punteggio minimo di 18 su 30. Testi di riferimento
- Argomenti specifici possono essere approfonditi nei seguenti testi
A.Del Centina - Teoria delle funzioni di una variabile complessa - Aracne editrice
M.O.Gonzalez - Classical complex Analysis - Dekker
