TEORIA DI GALOIS

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2016/2017
Docente
FABIO STUMBO
Crediti formativi
6
Periodo didattico
Primo Semestre
SSD
MAT/02

Obiettivi formativi

L'obiettivo del corso è sviluppare la teoria dei campi necessaria alla
comprensione della corrispondenza di Galois e le sue principali
conseguenze.

Le principali conoscenze acquisite sono:
* struttura dei campi finiti;
* risultante di due polinomi;
* proprietà delle estensioni dei campi (algebricità, separabilità, normalità, semplicità, trascendenza);
* costruibilità dei numeri algebrici;
* risolubilità per radicali di un'equazione;
* corrispondenza di Galois;
* criteri per la determinazione del gruppo di Galois di un polinomio;
* estensioni ciclotomiche.

Le principali abilità acquisite sono:
* saper calcolare il risultante di due polinomi;
* saper determinare un generatore di un'estensione semplice;
* saper riconoscere le proprietà di un'estensione di campi;
* saper effettuare costruzioni con riga e compasso;
* calcolo del gruppo di Galois di un polinomio.

Prerequisiti

Prerequisiti:
Sono sufficienti le conoscenze elementari di algebra acquisite nel corso
di Algebra del primo anno. In particolare:
* nozioni sui gruppi, anelli e campi;
* struttura dei campi finiti;
* calcolo del MCD e algoritmo euclideo.

Contenuti del corso

1. Teoria dei campi (12 ore).
* Estensioni separabili.
* Estensioni normali.
* Campi di spezzamento.
* Teorema dell'elemento primitivo.
* Chiusura algebrica.
* Teorema fondamentale dell'algebra.
2. Teoria di Galois (12 ore).
* Corrispondenza di Galois.
* Estensioni di Galois.
* Teorema fondamentale.
3. Teoria di Galois delle equazioni (12 ore).
* Risolubilità per radicali.
* Gruppi risolubili.
* Polinomi risolubili.
* Il teoream di Ruffini-Abel.
* Costruzioni con riga e compasso.
4. Complementi (12 ore).
* Trascendenza.
* Estensioni trascendenti.
* L'opera originale di Galois.

Metodi didattici

Il corso è organizzato secondo lezioni frontali convenzionali,
generalmente di 2 ore ciascuna.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'obiettivo della prova d'esame consiste nella verifica del raggiungimento
delle abilità previste.
Tale verifica viene effettuata tramite una prova scritta della durata di
3 ore e composta da esercizi riguardanti gli argomenti svolti a lezione.
La prova scritta è composta da domande e/o esercizi di punteggio
variabile per un totale non inferiore a 30.
Il totale dei punti ottenuti nella prova (limitato a 30 se maggiore) è
il voto riportato dallo studente.
L'esame è superato se il voto è almeno 18.
La prova orale è opzionale, su richiesta dello studente.
L'eventuale prova orale contribuisce al voto finale con un punteggio
compreso tra -3 e 3.

Testi di riferimento

Testi di riferimento:
* F. Stumbo: Teoria di Galois, appunti del corso
Altri testi di riferimento:
* C. Menini, F. Van Oystaeyen; Abstract algebra; Marcel Dekker
* M. Girardi, G. Israel; Teoria dei campi; Feltrinelli
* D. A. Cox; Galois theory; Wiley
* H. M. Edwards; Galois theory; Springer
* J. M. Howie; Fields and Galois theory; Springer
* S. Roman; Fields theory; Springer
* J. Rotman; Galois theory; Springer