TEORIA DI GALOIS
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2021/2022
- Docente
- FABIO STUMBO
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/02
Obiettivi formativi
- L'obiettivo del corso è sviluppare la teoria dei campi necessaria alla
comprensione della corrispondenza di Galois e le sue principali
conseguenze.
Le principali conoscenze acquisite sono:
* struttura dei campi finiti;
* risultante di due polinomi;
* proprietà delle estensioni dei campi (algebricità, separabilità, normalità, semplicità, trascendenza);
* costruibilità dei numeri algebrici;
* risolubilità per radicali di un'equazione;
* corrispondenza di Galois;
* criteri per la determinazione del gruppo di Galois di un polinomio;
* estensioni ciclotomiche.
Le principali abilità acquisite sono:
* saper calcolare il risultante di due polinomi;
* saper determinare un generatore di un'estensione semplice;
* saper riconoscere le proprietà di un'estensione di campi;
* saper effettuare costruzioni con riga e compasso;
* calcolo del gruppo di Galois di un polinomio. Prerequisiti
- Prerequisiti:
Sono sufficienti le conoscenze elementari di algebra acquisite nel corso
di Algebra del primo anno. In particolare:
* nozioni sui gruppi, anelli e campi;
* struttura dei campi finiti;
* calcolo del MCD e algoritmo euclideo. Contenuti del corso
- 1. Teoria dei campi (12 ore).
* Estensioni separabili.
* Estensioni normali.
* Campi di spezzamento.
* Teorema dell'elemento primitivo.
* Chiusura algebrica.
* Teorema fondamentale dell'algebra.
2. Teoria di Galois (12 ore).
* Corrispondenza di Galois.
* Estensioni di Galois.
* Teorema fondamentale.
3. Teoria di Galois delle equazioni (12 ore).
* Risolubilità per radicali.
* Gruppi risolubili.
* Polinomi risolubili.
* Il teoream di Ruffini-Abel.
* Costruzioni con riga e compasso.
4. Complementi (12 ore).
* Trascendenza.
* Estensioni trascendenti.
* L'opera originale di Galois. Metodi didattici
- Il corso è organizzato secondo lezioni frontali convenzionali, generalmente di 2 ore ciascuna, da svolgere in presenza e/o in streaming, secondo la necessità.
Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'obiettivo della prova d'esame consiste nella verifica del raggiungimento delle abilità previste.
Tale verifica viene effettuata tramite una prova scritta della durata di 3 ore e composta da esercizi riguardanti gli argomenti svolti a lezione.
La prova scritta è composta da domande e/o esercizi di punteggio variabile per un totale non inferiore a 30.
Il totale dei punti ottenuti nella prova (limitato a 30 se maggiore) è il voto riportato dallo studente.
L'esame è superato se il voto è almeno 18.
La prova orale è opzionale, su richiesta dello studente.
L'eventuale prova orale contribuisce al voto finale con un punteggio compreso tra -3 e 3. Testi di riferimento
- Testi di riferimento:
* F. Stumbo: Teoria di Galois, appunti del corso
Altri testi di riferimento:
* C. Menini, F. Van Oystaeyen; Abstract algebra; Marcel Dekker
* M. Girardi, G. Israel; Teoria dei campi; Feltrinelli
* D. A. Cox; Galois theory; Wiley
* H. M. Edwards; Galois theory; Springer
* J. M. Howie; Fields and Galois theory; Springer
* S. Roman; Fields theory; Springer
* J. Rotman; Galois theory; Springer
