TEORIA DELLA MISURA E INTEGRAZIONE

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2016/2017
Docente
MICHELE MIRANDA
Crediti formativi
6
Periodo didattico
Primo Semestre
SSD
MAT/05

Obiettivi formativi

Obiettivo del corso e' l'apprendimento delle nozioni di teoria della misura astratta da applicare allo studio delle soluzioni di equazioni differenziali, sia in senso classico che in ambito stocastico. Obiettivo e' anche l'introduzione di alcuni problemi di calcolo delle variazioni e di teoria geometrica della misura.

Prerequisiti

I prerequisiti di questo corso sono minimali; e' richiesta la conoscenza degli argomenti di Analisi 1, mentre le conoscenze derivanti dai corsi di Analisi 2 e Geometria sono consigliate ma non necessarie.

Contenuti del corso

Richiami sull’integrazione alla Riemann e suoi limiti. Algebre e sigma-algebre; misure ed esempi. Misure esterne; insiemi misurabili e criterio di Caratheodory. Misure metriche; esempi e misure di Hausdorff. Insieme di Cantor. Complementi. (8 ore)

Funzioni misurabili; definizioni equivalenti. Funzioni misurabili; proprietà e approssimazione con funzioni semplici. Confronto tra insiemi Boreliani e insiemi misurabili secondo Lebesgue. Integrale delle funzioni misurabili. Chebychev e conseguenze. Teoremi di convergenza; monotona, Beppo Levi, Fatou e Lebesgue. Confronto tra integrale di Riemann e Lebesgue. (6 ore)

Famiglie di Dynkin e pi-sistemi. Introduzione alla misura prodotto. Teorema di Fubini. Convergenze; in misura, quasi ovunque, quasi uniforme, in media. Confronti tra le varie convergenze; Teoremi di Borell-Cantelli e Egorov. Teorema di Lusin; introduzione agli spazi di Lebesgue; definizione e completezza. (6 ore)

Misure vettoriali e con segno; misura variazione totale e finitezza delle misure vettoriali. Decomposizione di Jordan e di Hahn. Teorema di Radon-Nikodym e di Besicovitch. Teorema di Besicovitch-Vitali e Teorema di derivazione di Besicovitch. Generelizzazioni del Teorema di derivazione di Besicovitch. Punti di Lebesgue per funzioni sommabili. (8 ore)

Spazio delle misure; struttura di Banach e dualità con le funzioni continue. Convergenze deboli di misure. Funzioni di distribuzione e funzioni monotone; derivabilità quasi ovunque e derivata distribuzionale. Relazione tra funzioni monotone e misure positive. Funzioni a variazione finita; differenza di funzioni monotone. Funzioni Lipschitz e loro differenziabilità. Funzioni convesse; definizione e prime proprietà. Teorema fondamentale del calcolo integrale; funzioni Lipschitziane e funzioni assolutamente continue. Funzioni di Sobolev in dimensione uno. Proprietà delle funzioni convesse e dimostrazione del fatto che la derivata seconda distribuzionale è una misura positiva. (8 ore)

Misure di Hausdorff e misura di Lebesgue; disuguaglianza isodiametrica e coincidenza per sottoinsiemi di varietà regolari. Confronto tra misure di superficie e misure di Hausdorff. (4 ore)

Integrale di Riemann-Stieltjes. Moti Browniani ed integrale stocastico; integrale di Ito. Speranze condizionali e martingali. Processi di Ito e formula di Ito; equazioni differenziali ordinarie stocastiche. Costruzione del moto Browniano e della misura di Wiener. (8 ore)

Metodi didattici

Il corso e' teorico che si basa su lezioni in aula; durante le lezioni si cerchera' di esporre esempi e applicazioni delle nozioni acquisite.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in un colloquio orale della durata approssimativa di 45 minuti; lo studente scegliera' se portare un argomento di approfondimento concordato con il docente, oppure due o tre piccoli argomenti di approfondimento concordati con il docente o ancora di sostenere un esame durante il quale rispondera' a tre domande relative a tre argomenti diversi affrontati durante il corso.

Testi di riferimento

Il testo di riferimento del corso e':

"Measure Theory", Donald Cohn.

Vengono distribuite anche le note del corso, reperibili sul sito web del corso.