TEORIA DEI MODULI

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2017/2018
Docente
GIULIANO BIANCO
Crediti formativi
6
Periodo didattico
Secondo Semestre
SSD
MAT/02

Obiettivi formativi

Lo scopo del corso è l'acquisizione di alcune conoscenze di base proprie della teoria dei moduli e degli anelli con alcuni cenni di Teoria delle Categorie. In particolare le costruzioni di somme, prodotti diretti e prodotti tensoriali di moduli, e la caratterizzazione di moduli iniettivi e proiettivi per quanto riguarda la teoria dei moduli, la conoscenza di categorie abeliane e categorie di Grothendieck per quanto riguarda la teoria delle categorie.
Alla fine del corso lo studente sarà in grado di dimostrare l'esistenza e le proprietà delle costruzioni studiate e riconoscerle e utilizzarle nello studio di altri oggetti matematici.

Prerequisiti

Il programma usuale del corso di Algebra. In particolare la famigliarità col concetto di struttura algebrica, di morfismo tra strutture e le proprietà di base di gruppi, anelli e spazi vettoriali.

Contenuti del corso

Moduli e morfismi di moduli. Teorema Fondamentale del modulo quoziente e Teoremi d'Isomorfismo (4 ore).

Prodotto diretto di una famiglia di R-moduli sinistri e somma diretta (esterna) di una famiglia di R-moduli sinistri (6 ore).

Successioni esatte corte e successioni esatte spezzanti (4 ore).

Moduli liberi e moduli proiettivi (3 ore).

Moduli iniettivi e moduli divisibili. Criterio di Baer
Gruppi di torsione (4 ore).

Generatori e cogeneratori. Moduli sinistri semplici e ideali massimali sinistri (4 ore).

Prodotto Tensoriale di Moduli, Moduli piatti, bimoduli, aggiunzione tra il prodotto tensoriale e il funtore Hom (12 ore).

Categorie, funtori, e trasformazioni naturali. Equivalenza ed isomorfismo di categorie (5 ore).

Categorie Abeliane. Categorie di Grothendieck (5 ore).

Metodi didattici

Lezioni frontali.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame orale. Il candidato esporrà un argomento a propria scelta tra quelli trattati nel corso o un argomento approfondito personalmente, concordato col docente. Nell'esposizione il candidato dovrà dimostrare di aver acquisito la conoscenza di base degli oggetti e delle tecniche di dimostrazione tipiche della teoria dei moduli.
Sarà valutata come eccellente una preparazione che consenta al candidato di risolvere problemi di teoria dei moduli non trattati durante le lezioni.

Testi di riferimento

C. Menini "Module Theory" Dispense 2014/15
C. Menini "Category Theory" Dispense 2014/15
F. Anderson, K. R. Fuller, Rings and categories of modules. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 13. Springer-Verlag, New York, 1992.