GEOMETRIA I

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2017/2018
Docente
FILIPPO ALFREDO ELLIA
Crediti formativi
12
Periodo didattico
Annualità Singola
SSD
MAT/03

Obiettivi formativi

Obiettivo del corso è lo studio dell’algebra lineare e delle sue applicazioni alla geometria affine e euclidea.
L’obiettivo principale del corso consiste nel fornire agli studenti le basi dell’algebra lineare. L’algebra lineare è essenzialmente lo studio dei fenomeni lineari. I fenomeni lineari sono quelli più semplici e quindi la loro teoria è molto avanzata e completa, inoltre servono per approssimare fenomeni più complicati (da cui, per esempio, l’uso della derivata per studiare funzioni ‘’complicate’’). Per questo motivo l’algebra lineare si ritrova in tutti i settori della matematica. Un altro obiettivo è di mostrare allo studente come questa teoria (come le altre teorie matematiche) possa essere sviluppata, rigorosamente, tramite dimostrazioni, partendo dalle nozioni di base (elementi di logica, teoria degli insiemi). Si mostrerà poi come la geometria affine e la geometria euclidea siano conseguenze dell’algebra lineare (e multi-lineare). Per quanto riguarda la geometria affine si porrà in evidenza la corrispondenza tra il punto di vista sintetico-geometrico e quello algebrico.
Al termine del corso lo studente avrà acquisito familiarità con le principali tecniche di dimostrazione usate in matematica (induzione, assurdo, contrapposizione) e sarà in grado di risolvere problemi standard (e meno standard) di algebra lineare e geometria (affine e euclidea).

Prerequisiti

Nozioni di base della teoria degli insiemi (unione, intersezione, applicazioni, applicazioni iniettive, suriettive, biiettive). Sapere risolvere (''per sostituzioni'') un sistema lineare di due o tre equazioni in poche variabili (due, tre o quattro).

Contenuti del corso

I) Preliminari.
Elementi di logica, metodi di dimostrazione. Insiemi. Applicazioni. Relazioni d’equivalenza. Gruppi. Anelli, corpi, campi.
II) Algebra lineare
Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Spazi finitamente generati. Indipendenza lineare, basi. Teorema del rango, relazione di Grassmann. Anello degli endomorfismi. Dualità. Sistemi lineari omogenei e dualità. Scrittura matriciale delle applicazioni lineari. Cambiamenti di base. Rango di una matrice. Determinanti. Calcolo di un determinante. Rango e determinanti. Diagonalizzazione. Sistemi lineari.
III) Geometria affine
Sotto spazi affini di uno spazio vettoriale. Equazioni degli sotto spazi affini. Parallelismo e incidenze. Incidenze nel piano e nello spazio. Riferimenti affini, affinità. Teoria generale.
IV) Geometria euclidea
Forme bilineari. Forme bilineari simmetriche. Ortogonalità rispetto a una forma bilineare simmetrica. Basi ortogonali. Basi ortonormali, teorema di Sylvester. Spazi metrici (cenni). Spazi vettoriali normati (cenni). Spazi vettoriali euclidei. Isometrie vettoriali. Isometrie. Classificazione delle isometrie del piano.

Metodi didattici

Lezioni frontali, esercizi da svolgere a casa.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Durante il corso saranno indicati vari "esercizi standard" (calcolo del rango di una matrice con il metodo degli orlati, esercizio "standard" sulla diagonalizzazione per una matrice reale 3x3, esercizio standard sulla diagonalizzazione delle forme quadratiche, esercizio standard sulle incidenze in uno spazio affine). Per superare l'esame lo studente dovrà dimostrare di saper svolgere questi esercizi. Questo è il requisito minimo.
Più specificatamente: ci saranno tre parziali P1,P2, P3 (voto su 35). Il primo riguarderà la parte di algebra lineare. Il parziale P2 riguarderà la parte di geometria affine (oltre a quella di algebra lineare) e P3 integrerà la parte riguardante le forme bilineari e la geometria euclidea. In ogni parziale saranno presenti "esercizi standard" (ma anche altri esercizi più difficili). Oltre ai parziali ci sarà uno scritto finale (voto su 30), S. Si è ammessi all'orale se il voto di ammissione, A, è maggior o uguale a 15. Il voto di ammissione si calcola nel modo seguente:
siano Pi >= Pj >= Pk i tre parziali. Il voto finale ai parziali, P, è P = Pi, se Pk >= 23 (è necessario avere fatto tutti e tre i parziali), altrimenti P = (Pi+Pj)/2 (la media dei due migliori).
se S < 12, A=S (non ammesso), se 12 <= S < 22, A = max(S, (S+P)/2), se S >=22, A = max(S,P). Il voto finale viene dato all’orale. L'orale consiste nel svolgere alla lavagna alcuni esercizi. Non viene richiesto allo studente di imparare tutta la teoria (tranne che per una lista di 4-5 teoremi che verrà comunicata durante il corso). In generale (se non succede un disastro!) il voto finale è >=A.

Testi di riferimento

"Appunti di geometria I", Ph. Ellia (Pitagora Ed.)