FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2017/2018
Docente
ROSSANA CHIAVACCI
Crediti formativi
6
Periodo didattico
Secondo Semestre
SSD
MAT/03

Obiettivi formativi

Il corso rappresenta un primo insegnamento della teoria delle funzioni in Analisi complessa; l'obiettivo principale del corso consiste nel far acquisire agli studenti i concetti di base e i risultati fondamentali della teoria delle funzioni di una variabile complessa.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
caratteristiche fondamentali delle funzioni complesse; conoscenza delle funzioni polidrome;
conoscenze di base per affrontare lo studio delle funzioni di variabile complessa, la loro espressione come somma di serie di funzioni, l'integrazione complessa;
conoscenze relative alle proprietà delle funzioni olomorfe e loro sviluppo in serie di potenze.
Le principali abilità saranno:
analizzare il comportamento delle funzioni di variabile complessa; rendere univoche le funzioni polidrome;
studiare le funzioni complesse mettendone in evidenza le proprietà analitiche, algebriche e gli aspetti geometrici delle mappe da esse definite;
utilizzare le proprietà delle funzioni complesse per risolvere problemi nel campo reale.

Prerequisiti

E' necessario aver acquisito ed assimilato le nozioni riguardanti il campo dei numeri reali e dei numeri complessi, le proprietà delle funzioni reali di una e più variabili reali, sviluppate nei corsi di analisi del primo biennio del corso di laurea in Matematica. Si assumono conosciuti i concetti e le proposizioni fondamentali dell'algebra astratta e della moderna geometria. E' necessario aver acquisito le principale nozioni di topologia.

Contenuti del corso

Il corso prevede 48 ore di didattica, tra lezioni ed esercitazioni, sui seguenti argomenti:
Generalità sulle funzioni di variabile complessa; funzioni elementari; mappe conformi; funzioni olomorfe; equazioni di Cauchy-Riemann; successioni e serie di funzioni complesse; modi di convergenza; serie di potenze; funzioni trascendenti elementari; integrazione nel campo complesso; teorema di Cauchy per le regioni stellate e formula integrale per il disco; propietà delle funzioni olomorfe: sviluppabilità in serie di potenze, teorema di Liouville, teorema di identità di Riemann, teorema di prolungamento di Riemann, teorema della mappa aperta; singolarità isolate delle funzioni olomorfe; funzioni meromorfe; teorema di Cauchy per la corona, teorema di Laurent e sviluppo in serie di Laurent delle funzioni olomorfe in uma corona; indice di un cammino rispetto a un punto; regioni omologicamente semplicemente connesse; teorema di Cauchy generale; calcolo dei residui: teorema dei residui; applicazione di tale teorema alla risoluzione di integrali reali.

Metodi didattici

Lezioni in aula su tutti gli argomenti del corso con esposizione scritta della parte teorica corredata di numerosi esercizi svolti quali esempi esplicativi della teoria trattata.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'obiettivo della prova d'esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati.
L'esame è diviso in due parti che hanno luogo in giorni diversi:
una prova scritta con soluzione di esercizi numerici su tutti gli argomenti trattati nel corso. La prova ha lo scopo di valutare lo studio della materia e la comprensione degli argomenti di base ed ha carattere di selezione in quanto lo studente che non mostri una sufficiente conoscenza degli argomenti non è ammesso alla prova orale. Il tempo previsto per la prova scritta è di 1 ora e 30 minuti. Per superare la prova è necessario acquisire almeno 18 punti su 30; è consentito consultare solo gli appunti riportati personalmente a mano su un foglio A4 che può contenere tutte le nozioni ritenute utili per il superamento della prova;
una prova orale nella quale non sarà valutata tanto l'abilità nel “ripetere “ qualche argomento trattato a lezione, quanto la comprensione dei concetti di base e dei risultati principali e la capacità di collegare e confrontare aspetti diversi trattati durante il corso; sono richieste dimostrazioni di alcuni dei teoremi principali;
la valutazione del voto finale terrà conto del voto dello scritto e dell'esposizione orale che deve dimostrare una sufficiente conoscenza degli argomenti: se questa non è valutata sufficiente è possibile ripetere solo la prova orale in un successivo appello;
Per superare l'esame è necessario acquisire un punteggio minimo di 18 su 30.

Testi di riferimento

Argomenti specifici possono essere approfonditi nei seguenti testi
A.Del Centina - Teoria delle funzioni di una variabile complessa - Aracne editrice
M.O.Gonzalez - Classical complex Analysis - Dekker