EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2017/2018
Docente
ALESSIA ASCANELLI
Crediti formativi
6
Periodo didattico
Secondo Semestre
SSD
MAT/05

Obiettivi formativi

I principali obiettivi formativi del corso sono:
* Introdurre lo studente ai concetti e alle problematiche principali legate alle equazioni differenziali ordinarie.
* Fornire metodi per la risoluzione di equazioni e sistemi di equazioni differenziali lineari e non lineari.
* Fornire strumenti per lo studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale.

Le principali conoscenze acquisite saranno:

* esempi concreti di modelli di equazioni differenziali ordinarie;
* classificazione ed esempi di varie tipologie di equazioni differenziali ordinarie;
* studio di equazioni differenziali scalari a variabili separabili o ad esse riconducibili;
* studio di equazioni e sistemi differenziali lineari a coefficienti costanti;
* esponenziale di una matrice;
* teoria generale di base: teoremi di esistenza e unicità per soluzioni locali del problema di Cauchy;
* prolungamento di soluzioni e comportamento delle soluzioni massimali;
* disequazioni differenziali, lemma di Gronwall e teoremi dl confronto;
* analisi qualitativa delle soluzioni di un'equazione scalare.

Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno quelle di saper:

* impostare un sistema di equazioni differenziali a partire dalla descrizione del modello fisico del problema;
* trasformare un sistema di equazioni differenziali ordinarie in un sistema del primo ordine e/o in forma normale;
* risolvere equazioni scalari a variabili separabili, o equazioni ad esse riconducibili;
* risolvere equazioni scalari lineari omogenee e non omogenee del primo ordine a coefficienti variabili;
* risolvere equazioni scalari lineari omogenee e non omogenee di ordine superiore a coefficienti costanti;
* risolvere sistemi lineari del primo ordine omogenei e non omogenei a coefficienti costanti;
* applicare il metodo di riduzione per abbassare l'ordine di un'equazione lineare o la dimensione di un sistema lineare quando si conosce una sua soluzione;
* calcolare l'esponenziale di una matrice;
* dimostrare, con diversi metodi, l'esistenza e unicità di soluzioni del problema di Cauchy sotto opportune ipotesi;
* classificare le soluzioni massimali di un'equazione differenziale in base al loro comportamento ai limiti;
* disegnare il grafico qualitativo di soluzioni di equazioni differenziali scalari senza risolvere esplicitamente l'equazione.

Prerequisiti

Calcolo differenziali e integrale per funzioni in una e in più variabili reali.
Concetti di base dell'algebra lineare delle matrici.

Contenuti del corso

* Motivazioni ed esempi: modelli ecologici unidimensionali, modello predatore-preda, circuiti RLC. [2 ore]
*Prime definizioni (equazioni differenziali ordinarie, forma normale e non, ordine, sistemi di equazioni differenziali ordinarie, problema di Cauchy). Teoria generale di base: esistenza e unicità locale della soluzione in ipotesi di Lipschitz con il metodo delle iterate di Picard e delle contrazioni. [6 ore]

*Lemma di Gronwall. Dipendenza continua dal dato iniziale. Soluzioni massimali e prolungamento delle soluzioni. Teorema di esistenza globale. [6 ore]

*Metodi di risoluzione per equazioni differenziali:
- a variabili separabili,
- equazioni riconducibili a variabili separabili (omogenee..)
- equazione differenziale lineare del primo ordine,
- equazioni riconducibili a lineari del primo ordine (Bernoulli, Riccati...)
-1-forme ed equazioni differenziali
- Equazione di Clairaut
- Equazioni autonome
- Discussione e risoluzione di problemi di Cauchy
- Discussione alla Weirstrass [8 ore]

*Equazioni differenziali lineari di ordine n. Equazioni di ordine n a coefficienti costanti. Polinomio caratteristico. Equazioni riconducibili a lineari di ordine n (Eulero..). Metodo di d’Alembert per la riduzione dell’ordine di una equazione. Metodo di variazione delle costanti. [8 ore]
*Esistenza per il problema di Cauchy nell'ipotesi di continuità. Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema di Peano. [4 ore]
* Sistemi lineari del primo ordine: esponenziale di una matrice e forma di Jordan. [6 ore]

*Studio qualitativo di un'equazione: teorema del confronto, teorema di monotonia e teorema dell'asintoto. [8 ore]

Metodi didattici

* 48 ore di lezioni frontali di teoria, applicazioni ed esercizi.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame è composto da una prova scritta seguita da un colloquio orale.

* La prova scritta consiste nello svolgimento di esercizi, problemi e applicazioni relative agli argomenti svolti durante il corso.
Essa si ritiene superato se si raggiunge il voto di 16 su 31;
** Il colloquio orale consiste nell'esposizione di alcuni concetti e aspetti teorici riguardanti gli argomenti svolti durante il corso e nella discussione degli elaborati prodotti durante le prove scritte.

In sostituzione dell'esame scritto sono possibili anche 2 prove scritte parziali che devono essere superate con il voto di almeno 16/31 (la prima viene svolta a meta' del corso e la seconda al termine).
Il voto finale viene calcolato attraverso la formula: se S e' il voto dello scritto (da 0 a 31) e O e' il voto dell'orale (da 0 a 31) allora posto m=minimo {S,O} e M=massimo {S,O}, il voto finale e' dato dalla parte intera di V= (2m+3M):5+1, arrotondato al numero intero piu' vicino.
Le prove scritte sono cosi' distribuite:
un esame parziale a meta' corso;
3 scritti (di tipo parziale e\o totali a scelta dello studente) tra giugno-luglio;
1 scritto totale a settembre;
3 scritti totali tra gennaio e febbraio;
Se richiesto da più studenti, è possibile fissare altri due appelli straordinari in altri periodi dell'anno.
Dopo il superamento dello scritto, si hanno 6 mesi di tempo per completare l'esame con la prova orale.


Testi di riferimento

(1) Analisi matematica 2 di Enrico Giusti (Bollati Boringhieri)
(2) Analisi matematica 2 di N. Fusco-P. Marcellini-C. Sbordone
(3) Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie di A. Malusa (Edizioni La Dotta)
(4) Equazioni differenziali ordinarie di L. Piccinnini-G. stampacchia-G. Vidossich
(5) Equazioni Differenziali Ordinarie di V.I.Arnold
(6) Appunti del corso.