EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2018/2019
Docente
FRANCESCA AGNESE PRINARI
Crediti formativi
6
Periodo didattico
Secondo Semestre
SSD
MAT/05

Obiettivi formativi

I principali obiettivi formativi del corso sono:
* Introdurre lo studente ai concetti e alle problematiche principali legate alle equazioni differenziali ordinarie.
* Fornire metodi per la risoluzione di equazioni e sistemi di equazioni differenziali lineari e non lineari.
* Fornire strumenti per lo studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale.

Le principali conoscenze acquisite saranno:

* esempi concreti di modelli di equazioni differenziali ordinarie;
* classificazione ed esempi di varie tipologie di equazioni differenziali ordinarie;
* studio di equazioni differenziali scalari a variabili separabili o ad esse riconducibili;
* studio di equazioni e sistemi differenziali lineari a coefficienti costanti;
* esponenziale di una matrice;
* teoria generale di base: teoremi di esistenza e unicità per soluzioni locali del problema di Cauchy;
* prolungamento di soluzioni e comportamento delle soluzioni massimali;
* disequazioni differenziali, lemma di Gronwall e teoremi dl confronto;
* analisi qualitativa delle soluzioni di un'equazione scalare.

Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno quelle di saper:

* impostare un sistema di equazioni differenziali a partire dalla descrizione del modello fisico del problema;
* trasformare un sistema di equazioni differenziali ordinarie in un sistema del primo ordine e/o in forma normale;
* risolvere equazioni scalari a variabili separabili, o equazioni ad esse riconducibili;
* risolvere equazioni scalari lineari omogenee e non omogenee del primo ordine a coefficienti variabili;
* risolvere equazioni scalari lineari omogenee e non omogenee di ordine superiore a coefficienti costanti;
* risolvere sistemi lineari del primo ordine omogenei e non omogenei a coefficienti costanti;
* applicare il metodo di riduzione per abbassare l'ordine di un'equazione lineare o la dimensione di un sistema lineare quando si conosce una sua soluzione;
* calcolare l'esponenziale di una matrice;
* dimostrare, con diversi metodi, l'esistenza e unicità di soluzioni del problema di Cauchy sotto opportune ipotesi;
* classificare le soluzioni massimali di un'equazione differenziale in base al loro comportamento ai limiti;
* disegnare il grafico qualitativo di soluzioni di equazioni differenziali scalari senza risolvere esplicitamente l'equazione.

Prerequisiti

Calcolo differenziali e integrale per funzioni in una e in più variabili reali.
Concetti di base dell'algebra lineare delle matrici.
Numeri complessi: radici ennesime,rappresentazione polare ed esponenziale.
Rappresentazione nel piano cartesiano di grafici e curve.

Contenuti del corso


*Prime definizioni (equazioni differenziali ordinarie, forma normale e non, ordine, sistemi di equazioni differenziali ordinarie, problema di Cauchy). Motivazioni ed esempi. Teoria generale di base per problemi di Cauchy associati al l’equazione y’=f(t,y): esistenza e unicità locale della soluzione in ipotesi di Lipschitz usando il teorema delle contrazioni. Approssimazione di Picard.
[7 ore]
* Prolungamenti di una soluzione. Unicita’ in grande. Soluzioni massimali e teorema di esistenza di soluzioni massimali. Lemma di Gronwall. Teorema di fuga dai compatti. Teorema di esistenza globale. Teorema sul comportamento di una soluzione massimale ed esempi.
[7 ore]
*Metodi di risoluzione per equazioni differenziali:
- equazioni riconducibili a variabili separabili (omogenee..)
- equazioni riconducibili a lineari del primo ordine (Bernoulli, Riccati...)
-1-forme ed equazioni differenziali
- Equazione di Clairaut
- Equazioni autonome
- Discussione e risoluzione di problemi di Cauchy
[7 ore]
*Studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale del primo ordine in forma normale. Sottosoluzioni e soprasoluzioni. Teorema del confronto, teorema di monotonia e teorema dell'asintoto.
[7 ore]
*Discussione alla Weirstrass.
[2 ore]
*Esistenza per il problema di Cauchy nell'ipotesi di continuità. Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema di Peano.
[4 ore]
* Sistemi lineari del primo ordine: esponenziale di una matrice e forma di Jordan. Analisi nel piano delle fasi di sistemi lineari 2x2 (nodi, fuochi, selle, spirali..)
[7 ore]
*Equazioni differenziali lineari di ordine n. Equazioni di ordine n a coefficienti costanti. Polinomio caratteristico. Equazioni riconducibili a lineari di ordine n (Eulero..). Metodo di d’Alembert per la riduzione dell’ordine di una equazione. Metodo di variazione delle costanti.
[7 ore]

Metodi didattici

* 48 ore di lezioni frontali di teoria, applicazioni ed esercizi. Lo svolgimento di esercizi sarà parte integrante della trattazione di ogni argomento.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame è composto da una prova scritta seguita da un colloquio orale.

* La prova scritta consiste nello svolgimento di esercizi, problemi e applicazioni relative agli argomenti svolti durante il corso.
Essa si ritiene superato se si raggiunge il voto di 16 su 31 e lo svolgimento corretto e quasi completo di almeno uno degli esercizi proposti;
** Il colloquio orale consiste nell'esposizione di alcuni concetti e aspetti teorici riguardanti gli argomenti svolti durante il corso e nella discussione degli elaborati prodotti durante le prove scritte.

In sostituzione dell'esame scritto sono possibili anche 2 prove scritte parziali che devono essere superate con il voto di almeno 16/31 (la prima viene svolta a meta' del corso e la seconda al termine).
Il voto finale viene calcolato attraverso la formula: se S e' il voto dello scritto (da 0 a 31) e O e' il voto dell'orale (da 0 a 31) allora posto m=minimo {S,O} e M=massimo {S,O}, il voto finale e' dato dalla parte intera di V= (2m+3M):5, arrotondato al numero intero piu' vicino.
Le prove scritte sono cosi' distribuite:
un esame parziale a meta' corso;
3 scritti (di tipo parziale e\o totali a scelta dello studente) tra giugno-luglio;
1 scritto totale a settembre;
3 scritti totali tra gennaio e febbraio;
Se richiesto da più studenti, è possibile fissare altri due appelli straordinari in altri periodi dell'anno.
Dopo il superamento dello scritto, si ha tempo entro il primo appello della sessione di esami successiva per completare l'esame con la prova orale.


Testi di riferimento

(1) Analisi matematica 2 di Enrico Giusti (Bollati Boringhieri)
(2) Analisi matematica 2 di N. Fusco-P. Marcellini-C. Sbordone
(3) Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie di A. Malusa (Edizioni La Dotta)
(4) Equazioni differenziali ordinarie di L. Piccinnini-G. stampacchia-G. Vidossich
(5) Equazioni Differenziali Ordinarie di V.I.Arnold
(6) Appunti del corso.