EQUAZIONI DELLA FISICA MATEMATICA
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2022/2023
- Docente
- DIEGO GRANDI
- Crediti formativi
- 7
- Periodo didattico
- Primo Semestre
- SSD
- MAT/07
Obiettivi formativi
- Il corso fornisce agli studenti nozioni e metodi di:
- Calcolo Tensoriale: algebra tensoriale, elementi di analisi tensoriale;
- Introduzione alla Meccanica dei Continui: Cinematica, Leggi di Bilancio Generali, alcuni modelli costitutivi;
- Introduzione alle Equazioni alle Derivate Parziali (EDP), con riferimento ai modelli della Meccanica Classica dei continui: equazione del trasporto, equazioni delle onde, del calore, di Laplace/Poisson.
Al termine del Corso lo studente profittevole avrà acquisito:
- padronanza del formalismo tensoriale per le applicazioni fisico-matematiche;
- capacità di costruire modelli matematici, basati su EDP, per descrivere fenomeni legati alla Meccanica Classica;
- capacità di riconoscere problemi ben posti nella teoria delle EDP e abilità nell'applicare le tecniche più comuni di soluzione classica. Prerequisiti
- - Algebra Lineare e Geometria (primo anno),
- Calcolo differenziale ed integrale di funzioni di una e più variabili reali; equazioni differenziali ordinarie;
- Meccanica del punto e dei sistemi materiali rigidi. Contenuti del corso
- Il corso consta di 56 ore di didattica sui seguenti argomenti:
I) Algebra e calcolo tensoriale (12 ore): richiami di Algebra Lineare (dualità, notazione indiciale, prodotti scalari, volumi); prodotto tensore; coordinate curvilinee in spazi euclidei, tensore metrico e sue applicazioni, derivazione di tensori: divergenza, rotore ed operatore di Laplace; teorema della divergenza.
II) Introduzione alla Meccanica dei Continui (18 ore): Cinematica (deformazione, derivate materiali, misure di deformazione, teorema del trasporto); Leggi di Bilancio generali e Teorema di Cauchy (argomento del tetraedro): bilancio di massa, impulso, momento angolare, energia; disuguaglianza di Clausius-Duhem; energia libera e disuguaglianza di dissipazione; leggi costitutive e principio di oggettività; modelli costitutivi del solido elastico isotropo (in particolare lineare) e del fluido newtoniano.
III) Introduzione alla Teoria classica delle EDP (26 ore): generalità sulle equazioni alle derivate parziali; equazioni quasi-lineari del primo ordine e metodo delle caratteristiche; equazione delle onde (alcune tecniche di soluzione, separazione di variabili e principio di Duhamel, problemi ai valori al bordo e dati iniziali, metodo dell'energia, buona posizione); problema di Cauchy e superfici caratteristiche per equazioni generali, Teorema di Cauchy-Kowalevskaja (enunciato ed esempi); equazione del calore (soluzione fondamentale, buona posizione, principio del massimo); equazione di Laplace/Poisson (problema ai valori al bordo e interpretazione variazionale: Principio di Dirichlet; soluzione fondamentale, proprietà del valor medio e conseguenze. Metodi didattici
- L'insegnamento si svolge ordinariamente (salvo concessioni all' Emergenza Permanente) tramite lezioni frontali (saltuariamente con l'ausilio di proiezioni di materiale didattico), nelle quali la materia viene sviluppata in dettaglio e debitamente commentata.
L'intervento e le domande degli studenti sono gradite e incoraggiate. Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame orale verifica la conoscenza degli argomenti spiegati a lezione per ciascuna delle tre parti del Corso. La risoluzione di un esercizio mostrerà la padronanza delle metodologie svolte nel Corso.
Testi di riferimento
- Dispense del docente.
La maggior parte degli argomenti possono essere reperiti e approfonditi in:
Parti I-II: S. Forte, L. Preziosi, M. Vianello, Meccanica dei Continui, Springer-Verlag Italia, 2019;
Parte III: S. Salsa, Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni. Springer Italia, 2004
Ulteriori letture:
L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS (2010), Cap. 1-4
