ANALISI MATEMATICA III

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2017/2018
Docente
DAMIANO FOSCHI
Crediti formativi
6
Periodo didattico
Primo Semestre
SSD
MAT/05

Obiettivi formativi

Questo è il terzo ed ultimo corso fondamentale di Analisi Matematica che lo studente incontra nel triennio. In esso vengono presentati i teoremi basilari e le principali tecniche di analisi reale e complessa, nonchè alcune loro applicazioni.

L'obiettivo principale del corso è far conoscere allo studente gli spazi L^p, gli spazi di Hilbert, le distribuzioni, la trasformata di Fourier, rendendolo capace di lavorare autonomamente in tali spazi e con tali strumenti. Il secondo obiettivo è far capire allo studente, mediante esempi ed esercizi, come questi spazi e questi strumenti siano ampiamente utilizzati non solo in matematica ma anche in fisica, ingegneria, e nelle altre scienze.

Le principali conoscenze acquisite saranno:
- conoscenza degli spazi L^p e dei principali teoremi connessi
- conoscenza del concetto di convoluzione tra due funzioni misurabili
- conoscenza del concetto di operatore lineare limitato tra spazi di Banach e norma dell'operatore
- conoscenza del concetto di spazio di Hilbert, dei principali esempi, delle proprietà, dei principali teoremi, in particolare proiezioni ortogonali
- conoscenza del concetto di distribuzione e delle principali operazioni sulle distribuzioni
- conoscenza della trasformata di Fourier in L^1, L^2, S ed S', delle sue principali proprietà, dei teoremi di inversione.

Le principali abilità acquisite saranno:
- capacità di riconoscere funzioni L^p ed operare con esse, utilizzando in maniera autonoma strumenti quali le disuguaglianze di Hoelder e Minkowski
- capacità di riconoscere convoluzioni ed operare con esse, riconoscendo i supporti e le proprietà di regolarità del risultato di una convoluzione
- capacità di studiare la linearità e continuità di un operatore tra spazi di Banach
- capacità di riconoscere spazi di Hilbert, saper operare autonomamente con essi, in particolare con le proiezioni ortogonali
- capacità di riconoscere le distribuzioni ed eseguire operazioni con le distribuzioni
- capacità di calcolare la trasformata di Fourier di funzioni/distribuzioni e di utilizzare le proprietà della trasformata. Capacità di risolvere autonomamente mediante trasformata di Fourier equazioni differenziali alle derivate parziali.

Prerequisiti

E' necessario aver acquisito ed assimilato i contenuti degli insegnamenti di Analisi I e II

Contenuti del corso

Il programma del corso è il seguente:

- Spazi L^p (14 ore).
Definizione di L^p(A), A sottoinsieme misurabile di R^n. Esponenti coniugati. Disuguaglianze di Young, Hoelder, Minkowski. Norma in L^p(A). Estremo superiore essenziale, sue proprietà. Spazio L^\infty(A). Disuguaglianza di Holder per {p,p'}={1,+\infty}. Teorema di inclusione tra spazi L^p(A), con A di misura finita. Completezza degli spazi L^p, p[1;+\infty]. Confronto tra convergenza puntuale, convergenza quasi ovunque, convergenza uniforme, convergenza (forte) in L^p. Supporto di una funzione, proprietà del supporto, spazio delle funzioni continue a supporto compatto. Densità di C_c in L^p e completamento di C_c in L^p rispetto a ||-||_p. Spazio C_0, completamento di C_c in C_0 rispetto a ||-||_\infty. Applicazioni lineari tra spazi normati: continuità, limitatezza, equivalenza tra continuità e limitatezza, norma. Convoluzione di funzioni misurabili, supporto della convoluzione. Spazi L^p_{loc}, loro proprietà. Disuguaglianza integrale di Minkowski. Riflessione, traslazione, Lemma di Lebesgue. Teoremi di convoluzione tra funzioni di L^p.

- Spazi di Hilbert (12 ore).
Prodotto scalare. Disuguaglianze di Schwartz e triangolare. Definizione di spazio di Hilbert. Lo spazio l^2. Identità del parallelogramma. Spazi prehilbertiani. Teorema della norma minima. Ortogonalità. Teorema delle proiezioni. Corollario. Teorema di Riesz-Frechèt. Un problema di approssimazione in spazi di Hilbert. Insiemi ortonormali. Disuguaglianza di Bessel. Teorema di Riesz-Fischer. Insiemi massimali. Teorema di Parseval, identità di Bessel. Ogni spazio di Hilbert contenente un insieme ortonormale massimale è isomorfo ad l^2. Applicazione allo studio delle serie di Fourier in L^2(T).

- Trasformata di Fourier(12 ore).
Trasformata di Fourier di funzioni L^1. Se f è funzione L^1, allora la sua trasformata F(f) è funzione C_0. Proprietà della trasformata di Fourier in L^1: comportamento rispetto alle operazioni di traslazione, compressione/dilatazione, derivazione, convoluzione, moltiplicazione per una potenza. Integrazione di F(f)g. Risoluzione di equazioni alle derivate parziali mediante trasformata di Fourier e problema dell'inversione. Teorema di inversione in L^1. Iniettività della trasformata. Equazione del calore in L^1. Equazione delle onde in L^1. Trasformata di Fourier in L^1\cap L^2, sue proprietà. Trasformata di Fourier in L^2. Proprietà della trasformata in L^2: norma di F(f), integrazione di F(f)g. Suriettività della trasformata in L^2. Inversione della trasformata in L^2.

- Distribuzioni (10 ore).
Introduzione storica al concetto di distribuzione. Definizione degli spazi D e D'. Primi esempi di distribuzioni: distribuzioni funzione, delta di Dirac, valor principale di 1/x. Teorema di caratterizzazione delle distribuzioni. Operazioni sulle distribuzioni: convergenza, derivazione, moltiplicazione per una funzione C^\infty. Spazi S ed S', trasformata di Fourier di distribuzioni.

Metodi didattici

Il corso comprende sia lezioni frontali che esercitazioni. Solitamente, dopo alcune ore di lezione frontale in cui si introducono nuovi concetti o teoremi importanti, seguono un paio di ore di esercizi sull'argomento svolto. Per le esercitazioni, all'inizio di ogni capitolo si consegna allo studente un foglio di esercizi sul capitolo, contenente parecchi testi di esercizi. Lo studente ha il tempo di guardare autonomamente gli esercizi e tentare di risolverli. In aula verranno poi svolti i principali, più quelli esplicitamente richiesti dagli studenti.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame si articola in due prove:

- una prova scritta della durata di 3 ore in cui allo studente viene richiesto di risolvere alcuni esercizi (generalmente 4)
- una prova orale alla lavagna, che consiste in un colloquio riguardante gli argomenti teorici del corso. Allo studente si chiede di discutere alcuni dei teoremi studiati e delle loro applicazioni.

Risulta ammesso alla prova orale chi riporta un voto maggiore o uguale a 16 alla prova scritta.
La prova orale deve essere sostenuta nell'ambito della stessa sessione d'esami della prova scritta, e comunque prima dell’inizio della successiva sessione.

Il voto finale tiene conto di entrambe le prove. Esso non è dato dalla media aritmetica tra il voto conseguito nella prova scritta e quello conseguito nella prova orale, bensì da una valutazione complessiva del livello di preparazione dello studente.

Nella sessione invernale ci sono almeno 2 possibilità di sostenere sia lo scritto che l'orale, le date vengono concordate in aula con gli studenti presenti a lezione. Nelle altre sessioni ci sono una o più possibilità di sostenere l'esame, dipendentemente dalle richieste degli studenti.

Testi di riferimento

Appunti ed esercitazioni del corso prendono liberamente spunto dai seguenti testi:
- W. Rudin, Analisi reale e complessa, Bollati Boringhieri
- G.Gilardi, Analisi 3, Mc Graw Hill
- F.Treves, Topological vector spaces, Accademic Press

Le lezioni del corso seguono in gran parte le seguenti dispense:
- L.Zanghirati, Appunti di Analisi V, in rete
- R.Agliardi, M.Cicognani, A.Corli: Esercizi di Istituzioni di Analisi Superiore, in biblioteca.