ALGEBRA

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2017/2018
Docente
CLAUDIA MENINI
Crediti formativi
15
Periodo didattico
Annualità Singola
SSD
MAT/02

Obiettivi formativi

Acquisizione di alcune conoscenze di base proprie dell'Algebra con particolare riferimento a: insiemi, applicazioni, insiemi quoziente, gruppi, morfismi, gruppi quoziente, anelli, morfismi, anelli quoziente, anello dei polinomi, domini fattoriali, domini ad ideali principali, campo dei quozienti di un dominio, estensioni di campi.
Lo studente avrà inoltre le basi necessarie per affrontare corsi di Teoria dei moduli e anelli, di Teoria delle categorie e di di Teoria di Galois.
Al termine del corso lo studente avrà sviluppato un procedimento logico e saprà esprimersi con un linguaggio scientifico appropriato e un formalismo matematico corretto che gli permetterà di risolvere problemi di base riguardanti le strutture algebriche fondamentali quali i gruppi ciclici, gruppi quoziente, gruppi prodotto, anelli quoziente, estensioni algebriche semplici.

Prerequisiti

Nessuno

Contenuti del corso

Generalità sugli insiemi. Cardinalità. Assiomi di Peano e numeri naturali . Operazioni binarie. Gruppoidi. Semigruppi. Gruppi. Morfismi, nucleo e immagine. Teorema di corrispondenza per gruppi. Gruppo simmetrico e Gruppo diedrale . Prodotto diretto di gruppi. (34 ore)
Relazioni d'equivalenza e partizioni. Insiemi quoziente. Congruenza e classi laterali. Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppi quoziente. Teorema fondamentale del gruppo quoziente e Teoremi di isomorfismo. Gruppi ciclici. Rappresentazione di un gruppo. Teoremi di Sylow e loro applicazioni. (20 ore)
Anelli e morfismi d'anello. Ideali. Teorema di corrispondenza per anelli. Teorema fondamentale dell'anello quoziente e Teoremi di isomorfismo. Caratteristica di un anello. Teorema di Fermat. L'anello degli interi. Prodotto diretto di anelli. Teorema cinese del resto. Sistemi di congruenze. (20 ore)
Domini di integrità, campi. Ideali primi e massimali. Lemma di Zorn. Lemma di Krull. Assioma della scelta. Anello delle serie formali, anello dei polinomi e sua Proprietà universale. Divisione fra polinomi. Teorema di Ruffini. Funzioni polinomiali. Ideali generati da un sottoinsieme. Domini ad ideali principali e domini euclidei. L'anello degli interi di Gauss. Domini fattoriali. Il campo dei quozienti di un dominio. Il campo dei numeri razionali. Fattorialita' dell'anello dei polinomi a coefficienti in un dominio fattoriale. Criterio di Eisenstein. (22 ore)
Estensioni di campi, estensioni semplici. Caratterizzazione delle estensioni algebriche semplici e delle estensioni finite. Campi algebricamente chiusi e Teorema fondamentale dell'Algebra (solo enunciato). Campi finiti. (24 ore)

Metodi didattici

Tutti i concetti che compaiono nel programma saranno introdotti e spiegati nelle lezioni del corso. Anche tutti i teoremi e rispettivi prerequisiti, che appaiono nel programma del corso saranno dimostrati con tutti i dettagli del caso. Per illustrare un nuovo concetto e/o una nuova definizione, verranno forniti esempi esplicativi. Per aiutare l'acquisizione della la teoria, verranno dati e risolti esercizi. Per stimolare l’interesse dello studente, durante il corso verranno proposti ulteriori esercizi. Gli studenti interessati potranno dare gli esercizi svolti al docente per la loro correzione e discussione.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame tradizionale si articola in un esame scritto e in un esame orale. Tali prove sono volte a verificare l'apprendimento delle tematiche del corso. Più dettagliatamente lo scritto è predisposto per vagliare la capacità di risoluzione di esercizi di tipo standard svolti durante il corso, mentre l'orale si propone di verificare l'acquisizione anche della parte teorica del corso con particolare riferimento alla successione logica dei risultati ottenuti.
Alternativamente si possono sostenere prove in itinere secondo il seguente schema. 4 prove parziali scritte: una dopo la prima metà del primo semestre, una al termine del primo semestre nel periodo di interruzione delle lezioni, una dopo la prima metà del secondo semestre e una al termine del corso; 2 prove orali: una nel periodo di interruzione delle lezioni a febbraio che verte sulla prima parte del programma e una al termine del corso che verte sulla seconda parte del corso. Tale ultima prova orale può essere svolta, su richiesta degli interessati, anche in un periodo successivo.
Le prove scritte consistono di cinque esercizi ai quali si attribuisce una votazione da 0 fino a sette.
Le prove scritte in itinere vengono valutate prima singolarmente e poi nella loro globalità. La media aritmetica delle stesse è solo uno strumento indicativo e non vincolante in quanto eventuali lacune emerse da tali prove verranno vagliate durante le prove orali. Questo significa che se uno studente dimostrasse all'orale di aver colmato le suddette lacune può comunque raggiungere il massimo della votazione.
Lo studente può avvalersi del metodo delle sole prove scritte in itinere che lo esonerano dalla prova scritta tradizionale.

Testi di riferimento

C. Menini and F. Van Oystaeyen, "Abstract Algebra, A comprehensive Treatment", Marcel Dekker.
T.W. Hungerford - Algebra - Springer-Verlag
P.M. Cohn - Algebra Vol. I - J. Wiley & Sons
N. Jacobson - Basic Algebra I - Freeman
M. Artin - Algebra - Prentice Hall