ISTITUZIONI DI METODI MATEMATICI DELLA FISICA

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2021/2022
Docente
GIUSEPPE PAGLIARA
Crediti formativi
9
Periodo didattico
Secondo Semestre
SSD
FIS/02

Obiettivi formativi

Gli obiettivi del corso sono quelli di fornire un' adeguata conoscenza degli strumenti matematici piu' avanzati necessari per affrontare lo studio dei corsi di fisica moderna del terzo anno della laurea triennale. In particolare, questo corso si propone di costruire le basi matematiche per lo sviluppo della meccanica quantistica ed e' quindi incentrato sulla nozione di spazio di Hilbert. Lo studente avra' acquisito l'abilita' di lavorare in spazi dimensionali astratti ad infinite dimensioni.
Altro principale obiettivo del corso è far conseguire allo studente l'abilita' di padroneggiare le raffinate tecniche dell'analisi complessa e delle trasformate di Fourier che saranno utili sia per i successivi corsi di stampo teorico che per i corsi di fisica sperimentale.

Prerequisiti

Le conoscenze di matematica ottenute dai corsi di analisi matematica I e II (calcolo differenziale e calcolo integrale per funzioni di una o piu' variabili, equazioni differenziali ordinarie) e dal corso di geometria (algebra lineare, geometria analitica).
L'esame non puo' essere sostenuto senza prima aver superato l'esame di Analisi matematica I.

Contenuti del corso

Il corso è articolato in tre blocchi principali: analisi complessa, spazi vettoriali infinito dimensionali (spazi di Hilbert in particolare), trasformate di Fourier e teoria delle distribuzioni.
Segue la lista dettagliata degli argomenti:

1. Analisi complessa (28 ore):

Richiami di algebra, numeri complessi (2 ore). Funzioni analitiche, serie di potenze nel piano complesso, sviluppi in serie di Taylor/Laurent (4 ore). Integrali sul piano complesso e Teoremi di Cauchy (4 ore). Zeri e singolarità di una funziona complessa (2 ore). Metodo dei residui, parte principale di Cauchy,Lemma di Jordan (8 ore).
Punto all'infinito e residui all'infinito (2 ore). Radici e Logaritmi complessi, punti di Diramazione e Tagli (6 ore).

2. Spazi vettoriali infinito dimensionali (28 ore):
Richiami di algebra lineare (dimensione finita) e spazi vettoriali complessi (2 ore). Equazione della corda vibrante ed equazione agli autovalori, serie di Fourier. Spazi vettoriali a dimensione infinita, prodotto scalare, norma, spazi di Banach e spazi di Hilbert (separabili) e sistemi completi, gli spazi C0 L1 e L2, lo spazio l2 e suo isomorfismo con L2 (10 ore).
Operatori lineari, continui e limitati (4 ore ).
Operatori aggiunti, autoaggiunti, unitari, proiettori (4 ore).
Problema di Sturm-Liouville e cenni su equazione di Schroedinger per l'oscillatore armonico, polinomi di Hermite. Cenni su equazione atomo di idrogeno: polinomi di Legendre e di Laguerre. Armoniche sferiche.
Cenni alle funzioni di Bessel. Formule di Rodrigues (4 ore). "Diagonalizzazione" di operatori autoaggiunti, spettro discreto e spettro continuo (4 ore).

3. Trasformate di Fourier e teoria della distribuzioni (16 ore):
La trasformata di Fourier in L1(R), continuità della trasformata di Fourier, derivazione e trasformata di Fourier (4 ore). La trasformata di Fourier in L2(R), uguaglianza di Parseval (2 ore). Antitrasformata di Fourier (2 ore). Cenni alle funzioni di Green (2 ore).
Introduzione alla teoria delle distribuzioni, convergenza negli spazi S ed S' (2 ore). La distribuzione delta e sue rappresentazioni, la distribuzione theta di Heaviside la distribuzione parte principale, derivate e trasformate di Fourier delle distribuzioni (4 ore).

4) Spazio di Hilbert equipaggiato, teorema spettrale (4 ore).


Complementi (a partire dall'a.a. 2020-2021): funzioni analitiche e funzioni armoniche, formula di Poisson, equazione indiciale associata alle equazioni differenziali e teorema di Fuchs, sviluppo di Mittag-Leffler, cenni sulle serie asintotiche, 5 ore.

Metodi didattici

Le lezioni teoriche vengono svolte alla lavagna. Questo permette agli studenti di seguire con piu' facilita' i dettagli dei calcoli e delle dimostrazioni e permette loro di riflettere sui contenuti ed eventualmente porre delle domande gia' nel corso della lezione. In alcuni casi si mostreranno, mediante slides, degli esempi di esercizi svolti facendo uso del software Mathematica.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame scritto comprende quattro esercizi: un esercizio sulle funzioni di variabili complessa (singolarita', sviluppi in serie, formule integrali di Cauchy); un integrale da calcolare coi metodi dell'analisi complessa (metodo dei residui, teorema di Cauchy, proprieta' delle funzioni polidrome); un esercizio su spazi di Hilbert (sistemi completi, operatori e loro diagonalizzazione, teorema spettrale); un ultimo esercizio che comprende il calcolo di trasformate di Fourier e distribuzioni con eventuali applicazioni alle equazioni differenziali. Lo scritto si ritiene superato con un punteggio di 15 punti e se superato ha validita' per tutto l'anno accademico in corso. Si possono consultare libri e appunti durante la prova. Nella prova scritta si testera' quindi se lo studente ha conseguito le abilita' di utilizzare le funzioni analitiche e di padroneggiare gli aspetti piu' astratti legati agli spazi di Hilbert e agli operatori lineari.
La prova orale mira a testare le conoscenze dello studente della parte piu' formale del corso. Le tre domande riguardano i teoremi, gli esempi e le dimostrazioni che sono stati presentati per i tre blocchi del corso.

Testi di riferimento

Il testo principale e' il seguente:

"Metodi matematici della fisica" di G. Cicogna. (editore Springer Verlag). I capitoli affrontati sono i seguenti: cap. 3 (3.1-3.13). cap. 1 (1.1-1.8). cap.2 (2.1-2.4, 2.6-2.14, 2.16-2.17, 2.19-2.21, 2.23), cap. 4 (4.3-4.8). cap.5 (5.1-5.5,5.7).
Dello stesso autore: "Compiti con Soluzioni di Metodi Matematici della Fisica".
Si consiglia inoltre:
"A Guide to Mathematical Methods for Physicists: With Problems and Solutions" di Michela Petrini, Gianfranco Alberto Zaffaroni (editore World Scientific 2018).


Alcuni argomenti verranno approfonditi utilizzando:
"Metodi Matematici della Fisica" di C. Bernardini, O. Ragnisco, P. M. Santini (Carocci editore), per la parte di spazi di Hilbert;
"Metodi Matematici della Fisica" di C. Rossetti
(editore Levrotto & Bella) per la parte di analisi complessa.