ANALISI MATEMATICA I.B
Anno accademico e docente
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- English course description
- Anno accademico
- 2022/2023
- Docente
- ALESSIA ASCANELLI
- Crediti formativi
- 6
- Periodo didattico
- Secondo Semestre
- SSD
- MAT/05
Obiettivi formativi
- Scopo del corso è quello di fornire agli studenti gli strumenti di base dell'analisi matematica, in particolare per quanto riguarda il calcolo differenziale per funzioni di più variabili, le equazioni differenziali ordinarie, il calcolo integrale per funzioni di una o più variabili reali e le loro applicazioni alla risoluzione di problemi basati su modelli matematici.
Al termine del corso gli studenti dovranno conoscere i contenuti teorici e le metodologie proprie dell'analisi matematica.
Gli studenti dovranno inoltre sapere applicare in modo consapevole i concetti appresi alla risoluzione di problemi di vario genere, anche di tipo applicativo, e individuare l'approccio più appropriato alla risoluzione dei problemi proposti.
Gli studenti dovranno acquisire padronanza del linguaggio matematico e del metodo logico-deduttivo, mostrando capacità di argomentare le strategie risolutive dei problemi in modo logico, efficace, pertinente e sintetico. Prerequisiti
- E' richiesta una completa comprensione di tutti contenuti del corso di Analisi Matematica 1.A
Contenuti del corso
- Cap.1 INTEGRALE DI RIEMANN
Definizione dell'integrale di Riemann, somme inferiori e superiori, funzioni integrabili, significato geometrico dell'integrale. Criteri di integrabilità. Integrabilità di funzioni monotone e di funzioni continue. Proprietà dell'integrale di Riemann: monotonia, additività, linearità. Teorema del valor medio integrale. Funzioni integrali.
Primitive e integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Tecniche di integrazione: riconoscimento diretto, integrazione per parti, per sostituzione diretta e inversa, integrazione delle funzioni razionali, alcune sostituzioni utili nel calcolo delle primitive.
Integrali in senso generalizzato in una variabile. Criteri di convergenza per integrali generalizzati. Confronti asintotici.
Cap. 2 CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIU' VARIABILI
Lo spazio R^n. Funzioni di più variabili a valori reali: dominio, linee di livello, calcolo di limiti, continuità. Derivate direzionali. Derivate parziali. Derivabilità e gradiente. Approssimazione del primo ordine e differenziabilità. Piano tangente al grafico di una funzione di più variabili. Teorema del differenziale totale. Derivate seconde e matrice hessiana. Calcolo differenziale vettoriale. Derivabilità, matrice Jacobiana, divergenza, rotore. Derivate di funzioni composte in più variabili.
CAP.3 INTEGRALI MULTIPLI
Integrale di Riemann in R^n, su insiemi misurabili secondo Peano-Jordan. Integrali doppi su domini semplici. Integrali tripli per fili e per strati. Cambio di variabile negli integrali multipli.
Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Solidi di rotazione e teorema di Guldino per i volumi. Calcolo di volumi, baricentri, momenti di solidi.
Integrali in senso generalizzato in più variabili. Integrazione della gaussiana.
Cap.4 NUMERI COMPLESSI
Algebra e geometria dei numeri complessi, esponenziale e logaritrmo complesso, radici ennesime in campo complesso, fattorizzazione di polinomi in campo complesso, limiti e derivate di funzioni a valori complessi.
CAP.5 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (ODE)
Che cos'è un'equazione differenziale ordinaria e che cosa è una soluzione. Il problema di Cauchy. Funzioni lipschitziane, esistenza ed unicità della soluzione locale/globale. ODE a variabili separabili. ODE lineari del primo ordine omogenee e non. ODE lineari a coefficienti costanti del secondo ordine omogenee e non. Metodi didattici
- Il corso prevede 60 ore di lezione in aula, con presentazione degli aspetti teorici accompagnati da applicazioni e molti esercizi per tutti gli argomenti del corso.
Le lezioni si svolgono alla lavagna/mediante condivisione Ipad.
Alla fine di ogni capitolo il docente assegna agli studenti alcuni esercizi da svolgere in autonomia, per testare le competenze acquisite; gli stessi esercizi verranno svolti in aula e/o ne verranno inviate le soluzioni su Classroom a distanza di una settimana circa, in modo tale che gli studenti possano avere riscontro sulla correttezza o meno dello svolgimento. Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame è costituito da:
- una prova scritta, mirata a valutare la capacità dello studente di risolvere problemi ed esercizi;
- una prova orale, mirata a valutare le conoscenze teoriche e la capacità espositiva.
Durante la prova scritta non è consentito consultare testi, utilizzare PC, tablet o smartphone, calcolatrici. Lo studente può comunque consultare un foglio (A4) da lui manoscritto in cui può appuntarsi formule utili ma non esercizi svolti; tale foglio va consegnato insieme allo svolgimento della prova.
La prova scritta si ritiene superata se si raggiunge il voto di 16 su 31. Chi supera la prova scritta può accedere alla prova orale, che si svolge pochi giorni dopo lo scritto.
Durante il colloquio orale allo studente sarà richiesto di illustrare qualche aspetto di contenuti svolti durante il corso (definizioni, esempi, proprietà, formule, teoremi, dimostrazioni, applicazioni). Si valuterà la comprensione logica dei concetti, la precisione e il rigore del linguaggio matematico usato per descriverli e la capacità di cogliere la relazione tra gli aspetti astratti e le applicazioni concrete.
Il voto finale, espresso in trentesimi, viene proposto al termine del colloquio orale e tiene conto di tutti gli elementi che permettono al docente di valutare la preparazione dello studente: correttezza e completezza dello svolgimento della prova scritta, qualità dell'esposizione nel colloquio orale, ma anche partecipazione attiva alle lezioni, costanza nello svolgimento di esercizi durante il corso. Testi di riferimento
- M.Bertsch, R.Dal Passo, L.Giacomelli - "Analisi Matematica" -McGraw-Hill (ISBN978-88-386-6234-8).
Il testo sopra contiene tutti gli argomenti del corso. I testi qui sotto invece sono o di Analisi 1 o di Analisi 2; il nostro corso copre gli ultimi argomenti di Analisi 1 ed i primi argomenti di Analisi 2.
Ulteriori testi utili per approfondire:
- M.Bramanti, C.D.Pagani,S.Salsa-"Analisi matematica 1" - Zanichelli (ISBN 978-88-08-06485-1)
- C.D.Pagani,S.Salsa-"Analisi matematica 2" - Zanichelli (ISBN 978-88-08-63708-6)
Alla pagina https://sites.google.com/a/unife.it/alessia-ascanelli/testi è possibile scaricare gratuitamente "Esercizi di Analisi Matematica 1" ed "Esercizi di Analisi Matematica 2", eserciziari che contengono numerosi esercizi svolti su vari argomenti del corso.
Ulteriori testi utili per svolgere esercizi:
- Marco Bramanti Esercitazioni di Analisi Matematica I Società Editrice ESCULAPIO (ISBN 978-88-7488-444-5)
- S.Salsa-M.Squellati Esercizi di Analisi Matematica 1 (978-88-08-21894-0)
- C.Canuto, A.Tabacco Analisi Matematica 2 (9788891910639)
