MATEMATICA APPLICATA

Anno accademico e docente
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English course description
Anno accademico
2016/2017
Docente
LORENZO PARESCHI
Crediti formativi
8
Periodo didattico
Primo Semestre
SSD
MAT/08

Obiettivi formativi

L'obiettivo formativo del corso è duplice. Da un lato il corso si propone di rendere il più possibile omogenea la preparazione matematica di base degli studenti dall'altra di fornire a questi nuovi strumenti matematici basati sul calcolo differenziale e l'algebra lineare.

Conoscenze
Fondamenti del calcolo differenziale, nozione di limite, concetto di derivata di funzione. Integrale come area del sottografico di funzione. Matrici e sistemi lineari, trasformazioni lineari. Semplici equazioni differenziali e sviluppi in serie.

Abilità
Capacità di analizzare qualitativamente il comportamento di una funzione e di svolgere il calcolo di alcuni integrali. Risoluzione di sistemi lineari.
Inoltre lo studente deve essere in grado di costruire e analizzare semplici modelli matematici (connessi anche alle equazioni differenziali) con i quali formulare i problemi della Progettazione Strutturale, della Fisica Tecnica e dell'Economia Applicata alla città e al territorio.

Prerequisiti

Il corso non ha prerequisiti obbligatori. Al fine di rendere omogenea la preparazione di base degli studenti in ambito matematico viene organizzato un corso opzionale di matematica di base chiamato MINIMAT rivolto agli studenti che hanno maggiori lacune nella formazione matematica. La verifica di tali conoscenze è effettuata tramite un test ad inizio corso.

Contenuti del corso

1. Nozioni preliminari
Alcuni richiami. Insiemi. Insiemi numerici. Logica e metodo matematico. Operazioni e funzioni tra insiemi. I numeri reali passando per i razionali. Valore assoluto. Intervalli. Disequazioni. Polinomi e radici.

2. Funzioni
Generalità. La funzione radice quadrata e la funzione segno. Funzioni composte. Funzioni pari e dispari. Funzioni inverse. Funzioni monotone. Funzioni trascendenti elementari. Funzioni trigonometriche. Funzioni esponenziali e logartitmiche.

3. Limiti e continuità
Definizione e esempi. Teoremi principali. Estensioni, limiti da destra e sinistra, limiti all'infinito. Limiti infiniti. Funzioni continue. Proprietà. Teoremi sulle funzioni continue.

4. Rette tangenti e derivazione
Retta tangente. Quoziente di Newton. Rette normali. Definizione di derivata. Derivata destra e sinistra. Operazioni con le derivate. Derivata di un prodotto. Il concetto di induzione. Derivata della funzione inversa. Derivata di un quoziente. Derivata di una funzione composta. Derivate di ordine superiore. Antiderivata e integrale indefinito. Derivate delle funzioni elementari.

5. Grafici di funzioni e approssimazioni
Teorema del valor medio e conseguenze. Punti critici e valori estremi. Test della derivata prima. Concavità e punti di flesso. Test della derivata seconda. Disegno del grafico. Asintoti. Esempi. Regole di de L'Hôpital.

6. Calcolo di integrali
Area di un trapezoide. Somme inferiori, superiori e di Riemann. L'integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale di Riemann. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. L'integrale definito. Teorema del valor medio per integrali. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrazione delle funzioni razionali fratte.

7. Integrali impropri e serie
Integrali impropri, criteri di convergenza, Serie numeriche, Criteri di convergenza, Convergenza e convergenza assoluta, Serie di potenze, Serie di Taylor.

8. Modelli differenziali
Introduzione alle equazioni differenziali, Esempi introduttivi, Esistenza e unicità, Equazioni lineari del primo ordine, Equazioni omogenee a coefficienti costanti.

9. Matrici e sistemi lineari
Definizione di matrice e vettore, operazioni tra matrici, prodotto scalare, sistemi lineari, eliminazione di Gauss.

10. Autovalori e autovettori
Autovalori e determinanti, I numeri complessi, Definizioni, Calcolo degli autovalori e autovettori, Diagonalizzazione e applicazioni, Matrici simmetriche, Minimi quadrati, Nome di vettori e matrici.

11. Vettori geometrici
Vettori in geometria, Vettori liberi e vettori applicati, Coordinate circolari e sferiche, Prodotto scalare e vettoriale.

Metodi didattici

Il corso si basa su una parte teorica ed una parte pratica. La parte pratica tramite esercizi guida lo studente alla risoluzione dei problemi presenti nella prova scritta.

L’attività didattica è suddivisa in:
- nozioni teoriche di base;
- esercitazioni pratiche in aula;
- verifiche di apprendimento durante il corso tramite esercizi individuali valutati dal docente.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Durante il corso due prove intermedie scritte oppure un unico esame finale scritto nelle sessioni di appello.La prova scritta è rivolta a verificare le capacità dello studente di risolvere semplici problemi pratici analoghi a quelli visti durante le esercitazioni in classe. Il voto dello scritto va integrato con quello dell'orale. La prova orale si basa sulla verifica dei concetti teorici visti durante il corso ed ha rilevanza inferiore rispetto alla prova scritta. Sono possibili due tipologie di prova orale.

-Orale tipo A (media maggiore o uguale a 17.5): due risposte scritte su sei domande proposte, se positivo conferma il voto ottenuto come media incrementandolo fino ad un massimo del 10%, se negativo l'esame e' considerato insufficiente e bisogna ripetere anche lo scritto finale.
-Orale tipo B (media maggiore o uguale a 14.5): prova orale alla lavagna, se positivo può incrementare il voto ottenuto come media fino ad un massimo del 30%, se negativo l'esame e' considerato insufficiente e bisogna ripetere anche lo scritto finale.

Testi di riferimento

1. G.Aletti, G.Naldi, L.Pareschi, Calcolo differenziale e Algebra lineare, McGraw-Hill, 2005 (testo di riferimento principale)
2. R. A. Adams, Calcolo differenziale Vol.1, Seconda Edizione, Casa Editrice Ambrosiana, Milano 1999
3. S. Salsa, Squellati, Esercizi di matematica Vol. 1, Calcolo infinitesimale e Algebra lineare,Ed. Zanichelli, 2001 (raccolta di esercizi)
4. Appunti del docente